ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 260: Правильная пирамида

План решения:

• Вспомним свойства правильной треугольной пирамиды: основание — правильный треугольник, вершина проецируется в центр основания.
• Для пункта а) используем признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.
• Для пункта б) докажем, что апофема грани ADB перпендикулярна ребру AB, и воспользуемся свойством перпендикуляра к плоскости.

Решение пункта а):

Пусть O — центр правильного треугольника ABC. Так как пирамида правильная, высота DO перпендикулярна основанию ABC, значит, DO⊥AB.

По условию плоскость α проходит через ребро DC и перпендикулярна высоте DO. Это означает, что любая прямая в плоскости α, проходящая через точку пересечения с DO (или параллельная ей), имеет определённые свойства. Однако более строгий подход: так как DO⊥α, то DO перпендикулярна любой прямой в плоскости α. Но нам нужно доказать обратное для AB.

Рассмотрим плоскость DOC. В правильной пирамиде медиана CM основания ABC (где M — середина AB) проходит через центр O. Следовательно, точки D,O,C,M лежат в одной плоскости. Ребро AB перпендикулярно медиане CM (так как △ABC равносторонний) и перпендикулярно высоте DO (так как DO⊥ основанию). Значит, AB⊥ плоскости DCM.

Плоскость α содержит прямую DC. Если мы покажем, что плоскость α совпадает с плоскостью DCM или параллельна ей, это упростит задачу. По условию α⊥DO. Плоскость DCM также перпендикулярна DO? Нет, DO лежит в ней. Перечитаем условие внимательно: "плоскость α ... перпендикулярна высоте DO". Это невозможно, если α содержит DC, а D — конец высоты, только если DC не является частью высоты. Высота DO соединяет вершину D с центром O. Ребро DC идёт из D в вершину C. Угол между DO и DC острый. Прямая не может быть перпендикулярна плоскости, содержащей наклонную к ней прямую, выходящую из той же точки, если только эта наклонная не сама перпендикулярна... Стоп. Геометрическая ошибка в интерпретации условия учебника или опечатка в условии задачи в источнике?

Давайте разберём стандартную формулировку таких задач. Обычно говорят: "через боковое ребро проведена плоскость, перпендикулярная противоположному ребру основания" или подобное. Здесь сказано: "перпендикулярная высоте DO". Если плоскость α перпендикулярна прямой DO, то DO является нормалью к α. Любая прямая, параллельная DO, будет перпендикулярна α. Но AB не параллельна DO.

Вероятно, в условии имеется в виду, что плоскость α проходит через ребро DC и параллельна какой-то линии, или же речь о другом объекте. Однако, давайте посмотрим на пункт б). Он говорит о грани ADB. Апофема грани ADB — это отрезок DM, где M — середина AB.

Пересмотрим пункт а). Доказать: AB⊥α. Если AB⊥α, то AB должна быть перпендикулярна любой прямой в α, например, DC. Является ли AB⊥DC? В правильной пирамиде скрещивающиеся ребра AB и CD взаимно перпендикулярны. Докажем это: AB⊥CM (медиана основания) и AB⊥DM (высота боковой грани, так как грань равнобедренная). Значит, AB⊥ плоскости DCM. Поскольку DC лежит в плоскости DCM, то AB⊥DC.

Теперь вернёмся к определению плоскости α. Она проходит через DC. Чтобы AB⊥α, плоскость α должна быть параллельна плоскости, перпендикулярной AB. Мы знаем, что AB⊥ плоскости DCM. Значит, если бы α совпадала с DCM, то AB⊥α. Но по условию α⊥DO. Плоскость DCM содержит DO. Она не может быть перпендикулярна DO (если только DO не нулевой длины). Здесь явное противоречие в тексте условия, типичное для некоторых сборников задач при неточном переводе или опечатке.

Однако, часто в задачах такого типа под "плоскостью, перпендикулярной высоте" подразумевается плоскость, проходящая через основание высоты или имеющая нормаль, параллельную высоте. Но здесь она проходит через DC.

Давайте предположим, что в условии опечатка и имелось в виду: "через боковое ребро DC проведена плоскость α, параллельная высоте DO"? Или "перпендикулярная ребру AB"? Если α⊥AB, то доказывать нечего.

Скорее всего, задача предполагает использование свойства: AB⊥DC и AB⊥DO? Нет, AB не перпендикулярна DO в смысле направления векторов, они скрещиваются. Но AB перпендикулярна проекции DO на основание? Да, DO⊥ основанию, значит DO⊥AB.

Итак, AB⊥DO и AB⊥DC. Значит, AB перпендикулярна плоскости, образованной прямыми DO и DC. Эта плоскость — DOC. То есть AB⊥ плоскости DOC.

Если плоскость α проходит через DC и перпендикулярна DO, то это невозможно, так как D лежит на DO и в α. Единственная плоскость, проходящая через D и перпендикулярная DO, не содержит других точек DO. Но она может содержать DC? Только если DC⊥DO. В правильной пирамиде боковое ребро не перпендикулярно высоте (это было бы возможно только если бы основание было точкой или угол был 90 градусов, что неверно).

Корректировка понимания условия: Возможно, имеется в виду плоскость, проходящая через ребро DC и перпендикулярная плоскости основания ? Нет, тогда она совпадала бы с DCM.

Давайте решим пункт б), он более однозначен.

Решение пункта б):

Грань ADB — это боковая грань пирамиды. Так как пирамида правильная, все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Пусть M — середина ребра AB. Тогда DM — апофема грани ADB (DM⊥AB).

Нам нужно доказать, что перпендикуляр из вершины C к апофеме DM является перпендикуляром к плоскости ADB.

Обозначим этот перпендикуляр как CH, где H лежит на DM, и CH⊥DM.

1. Рассмотрим плоскость DCM. В ней лежат точки D,C,M. Треугольник DCM — это сечение пирамиды плоскостью симметрии.

2. Ребро AB перпендикулярно медиане CM основания ABC (так как △ABC правильный).

3. Ребро AB перпендикулярно апофеме DM грани ADB (так как △ADB равнобедренный).

4. Следовательно, AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым CM и DM в плоскости DCM. Значит, AB⊥ плоскости DCM.

5. Так как AB⊥ плоскости DCM, то AB перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, AB⊥CH (так как CH лежит в плоскости DCM).

6. Теперь у нас есть: CH⊥DM (по построению/условию) и CH⊥AB (доказано выше).

7. Прямые DM и AB лежат в плоскости ADB и пересекаются в точке M (или DM лежит в плоскости, а AB тоже в ней, они пересекаются в M).

8. Если прямая CH перпендикулярна двум пересекающимся прямым DM и AB, лежащим в плоскости ADB, то CH перпендикулярна всей плоскости ADB.

Что и требовалось доказать.

Возврат к пункту а) с учётом логики пункта б):

Мы доказали, что AB⊥ плоскости DCM.

В условии сказано: "через боковое ребро DC проведена плоскость α, перпендикулярная высоте DO". Как мы выяснили, такая плоскость не существует в евклидовой геометрии для произвольной пирамиды, если она должна содержать DC и быть botDO в точке D.

Однако, если предположить, что в условии опечатка и имелось в виду "плоскость α совпадает с плоскостью DCM" (которая проходит через DC), то утверждение "AB⊥α" верно, так как AB⊥DCM.

Другой вариант: плоскость α проходит через DC и перпендикулярна плоскости основания . Тогда α — это та же самая плоскость DCM (так как DCM⊥ABC). И тогда AB⊥α верно.

Ещё вариант: плоскость α проходит через DC и перпендикулярна ребру AB . Тогда доказывать нечего.

Учитывая контекст школьной геометрии и структуру задачи, наиболее вероятная корректная трактовка условия для доказательства AB⊥α: плоскость α — это плоскость DCM (симметрии), которая проходит через DC. Почему в условии написано "перпендикулярная высоте DO"? Возможно, имелось в виду, что α перпендикулярна проекции чего-то? Или это просто грубая ошибка в источнике.

Но мы можем доказать утверждение а) независимо от странного определения α, если показать, что AB перпендикулярна плоскости, содержащей DC и ещё одну линию, связанную с высотой.

Давайте запишем решение для а) исходя из того, что AB перпендикулярна плоскости DCM, и предположим, что α — это и есть плоскость DCM (единственная плоскость, проходящая через DC и обладающая свойствами симметрии, важными для задачи).

Доказательство а):

1. Пусть M — середина AB. Так как △ABC правильный, CM⊥AB.

2. Так как △ADB равнобедренный (DA=DB), DM⊥AB.

3. Прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым CM и DM плоскости DCM.

4. Следовательно, AB⊥ плоскости DCM.

5. Плоскость DCM проходит через боковое ребро DC. Обозначим её за α. (Примечание: формулировка "перпендикулярна высоте" в условии, вероятно, ошибочна или подразумевает, что α перпендикулярна плоскости, содержащей высоту и перпендикуляр к основанию, но геометрически DCM содержит высоту DO).

6. Таким образом, AB⊥α.