ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 263: Правильная пирамида

План решения.

Для построения сечения плоскостью KLN воспользуемся свойствами параллельных прямых и плоскостей. Так как KN∥BA, а BA лежит в плоскости основания ABCD, то прямая KN параллельна этой плоскости. Аналогично, из условия KL∥BM следует, что прямая KL параллельна плоскости AMB. Нам нужно найти четвёртую вершину сечения на ребре MD или внутри грани AMD, используя признак параллельности плоскостей.

Вычисление и построение (пункт а).

Рассмотрим грань MBC. Точки K и L лежат на рёбрах BC и MC соответственно. Проведём через точку N (лежащую на AD) прямую, параллельную KL. Поскольку KL∥BM, то искомая прямая будет параллельна BM. Пусть эта прямая пересекает ребро MD в точке P. Тогда отрезок NP является линией пересечения секущей плоскости с гранью MAD.

Теперь соединим точки L и P. Отрезок LP лежит в плоскости грани MCD. Проверим параллельность сторон полученного четырёхугольника KLPN:

• KN∥AB (по условию).
• LP соединяет точки на рёбрах MC и MD. В треугольнике MCD прямая LP параллельна стороне CD? Нет, это не обязательно так. Давайте посмотрим иначе.

Воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Плоскость KLN содержит две пересекающиеся прямые KN и KL. Прямая KN∥AB, где AB⊂ пл. AMB. Значит, KN∥ пл. AMB. Прямая KL∥BM, где BM⊂ пл. AMB. Значит, KL∥ пл. AMB. Следовательно, вся плоскость KLN параллельна плоскости AMB.

Так как пл. KLN∥ пл. AMB, то линии пересечения этих плоскостей с любой третьей плоскостью параллельны. Рассмотрим плоскость основания ABCD. Она пересекает пл. AMB по прямой AB, а пл. KLN — по прямой KN. Мы уже знаем, что KN∥AB. Теперь рассмотрим плоскость грани MAD. Она пересекает пл. AMB по прямой AM, а пл. KLN — по прямой NP (где P — точка на MD). Следовательно, NP∥AM.

Рассмотрим плоскость грани MCD. Она пересекает пл. AMB... Стоп, грани MCD и AMB не имеют общей прямой пересечения в рамках одной пирамиды напрямую для этого свойства. Лучше рассмотреть плоскость грани MBC. Она пересекает пл. AMB по BM, а пл. KLN по KL. Условие KL∥BM выполнено.

Итак, мы получили четырёхугольник KLPN, где P — точка на MD, такая что NP∥AM. Соединим L и P. В треугольнике MAD NP∥AM. В треугольнике MBC KL∥BM. Так как пирамида правильная, то боковые грани равны. Из подобия треугольников можно показать, что LP∥CD? Нет. Давай проверим вид сечения.

Стороны сечения: KN, NL (диагональ?), нет, стороны KN, KL, LP, PN. 1. KN∥AB. 2. PN∥AM. 3. KL∥BM. 4. Что такое LP? Точка L на MC, точка P на MD. В треугольнике MCD отрезок LP соединяет точки на сторонах. Так как KL∥BM и PN∥AM, то углы при основании сечения соответствуют углам при основании грани AMB. Однако, чтобы определить вид, посмотрим на параллельность противоположных сторон. KN лежит в плоскости основания, LP лежит в плоскости грани MCD. Они не параллельны в общем случае. KL лежит в грани MBC, PN лежит в грани MAD. Они не параллельны. Но! Если пл. KLN∥ пл. AMB, то сечение подобно грани AMB? Нет, сечение проходит через внутренние точки. Давайте найдём точку P точнее. Через N проводим прямую параллельно AM до пересечения с MD в точке P. Соединяем P с L. Так как пл. KLN∥ пл. AMB, то линия пересечения с гранью MCD (LP) должна быть параллельна линии пересечения пл. AMB с какой-то плоскостью? Нет. Просто: KN∥AB, PN∥AM. Значит, угол KNP равен углу BAM. Аналогично, если бы мы рассматривали проекцию... На самом деле, сечение KLPN является трапецией . Почему? Рассмотрим плоскость MCD и плоскость MAB. Они пересекаются в вершине M. Это не помогает. Вернемся к определению трапеции: четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Есть ли параллельные стороны у KLPN? KN∥AB. LP соединяет L∈MC и P∈MD. В правильной пирамиде AB∥CD. Если LP∥CD, то LP∥AB∥KN. Будет ли LP∥CD? Из KL∥BM следует CK/CB=CL/CM. Из PN∥AM следует DN/DA=DP/DM. Так как KN∥AB, то K и N делят BC и AD в одинаковом отношении (в прямоугольной трапеции ABKN или параллелограмме, если ABCD квадрат, то BK=AN). В квадрате ABCD: KN∥ABimpliesBKNA — прямоугольник (или часть его), значит BK=AN. Тогда CK=BC-BK и DN=AD-AN. Так как BC=AD и BK=AN, то CK=DN. Отсюда CK/CB=DN/DA. Обозначим это отношение за k. Тогда CL/CM=k (из KL∥BM). И DP/DM=k (из PN∥AM). Значит, ML/MC=1-k и MP/MD=1-k. В треугольнике MCD точки L и P делят стороны MC и MD в одном и том же отношении, считая от вершины M. Следовательно, LP∥CD. Так как ABCD — квадрат (основание правильной пирамиды), то AB∥CD. Мы имеем: KN∥AB и LP∥CDimpliesLP∥AB. Следовательно, KN∥LP. Четырёхугольник KLPN имеет пару параллельных сторон KN и LP. Является ли он параллелограммом? Для этого нужно KN=LP. KN=AB (если K,N совпадают с B,A?) Нет, KN меньше AB, если K ближе к C. Длина KN зависит от положения. В прямоугольнике ABKN′ (проекция) длина KN равна длине проекции AB? Нет, KN параллельна AB и лежит в плоскости основания. Если ABCD квадрат, то KN — отрезок, параллельный стороне. Его длина равна длине стороны AB только если K на BC, а N на AD и KN проходит через центр? Нет. В квадрате отрезки, параллельные стороне и соединяющие соседние стороны, равны этой стороне. То есть KN=AB. А LP? LP∥CD и LP=k′·CD. Так как AB=CD, то KN=AB и LP=(1-k)CD? Нет, из подобия △MLP∼△MCD коэффициент подобия (1-k)? Нет, ML/MC=1-k. Значит LP=(1-k)CD. KN? Треугольники CBK и ... KN не является стороной треугольника, подобного чему-то просто. Но в квадрате ABKN (если K на BC, N на AD) это прямоугольник, поэтому KN=AB. Получается KN=AB и LP=(1-k)AB. Они равны только если k=0 (вырожденный случай). Значит, KN≠LP. Таким образом, KLPN — трапеция.

Доказательство (пункт б).

Чтобы доказать, что плоскость KLN параллельна плоскости AMB, достаточно указать в плоскости KLN две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум прямым в плоскости AMB.

1. По условию задачи, прямая KN параллельна прямой BA. Прямая BA лежит в плоскости AMB. Следовательно, KN∥ пл. AMB.
2. По условию задачи, прямая KL параллельна прямой BM. Прямая BM лежит в плоскости AMB. Следовательно, KL∥ пл. AMB.
3. Прямые KN и KL пересекаются в точке K и лежат в плоскости KLN.

Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Таким образом, пл. KLN∥ пл. AMB.