ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 267: Метод координат в пространстве

План доказательства:

Рассмотрим пирамиду SABC… с вершиной S и основанием ABC…. Пусть плоскость α параллельна основанию и пересекает боковые рёбра в точках A_1,B_1,C₁…, а высоту SO — в точке O₁. Нам нужно доказать, что отрезки на боковых рёбрах (SA₁ и A₁A) и на высоте (SO₁ и O₁O) относятся друг к другу пропорционально. Для этого воспользуемся свойством подобия треугольников, образованных секущей плоскостью.

Ход решения:

1. Проведём высоту SO пирамиды, где O — точка пересечения высоты с плоскостью основания. Точка O₁ лежит на этой высоте и является пересечением её с секущей плоскостью α. 2. Рассмотрим произвольное боковое ребро, например, SA. Оно пересекает плоскость α в точке A₁. Так как плоскость α параллельна плоскости основания (ABC), то прямая A₁O₁ (лежащая в плоскости α) параллельна прямой AO (лежащей в плоскости основания). Это следует из того, что плоскость SAO пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. 3. В треугольнике SAO имеем A₁O₁∥AO. По теореме Фалеса (или признаку подобия треугольников), треугольник SA₁O₁ подобен треугольнику SAO. 4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: SA₁/SA=SO₁/SO 5. Выразим части бокового ребра и высоты. Пусть SA₁=x, тогда всё ребро SA=SA₁+A₁A. Аналогично для высоты: пусть SO₁=y, тогда вся высота SO=SO₁+O₁O. 6. Подставим эти суммы в полученную пропорцию: x/x+A₁A=y/y+O₁O 7. Преобразуем это равенство, чтобы найти отношение частей. Перевернём дроби: x+A₁A/x=y+O₁O/y 1+A₁A/x=1+O₁O/y A₁A/x=O₁O/yimpliesx/A₁A=y/O₁O 8. Возвращаясь к обозначениям отрезков, получаем: SA₁/A₁A=SO₁/O₁O Это равенство показывает, что боковое ребро делится на части SA₁ и A₁A, а высота — на части SO₁ и O₁O так, что отношения этих частей равны. То есть они делятся на пропорциональные части.

Проверка:

Такое же рассуждение справедливо для любого другого бокового ребра SB,SC и т.д., так как все они лежат в плоскостях, проходящих через высоту SO. Следовательно, для всех боковых рёбер выполняется одно и то же отношение деления, равное отношению деления высоты. Утверждение доказано.