ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 268: Метод координат в пространстве

План решения.

Обозначим сторону основания исходной пирамиды за a, а высоту усечённой пирамиды за h. Так как плоскость сечения делит высоту в отношении 1:2 от вершины, то высота верхней (отсекаемой) части составляет 1/3 от общей высоты, а высота усечённой части — 2/3. Из подобия треугольников следует, что сторона верхнего основания усечённой пирамиды равна 1/3a, а нижнего — a. Апофема усечённой пирамиды дана как l=4 дм. Площадь полной поверхности складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности. Используя формулу площади трапеции для боковой грани или сумму площадей, выразим площадь через a и найдем связь между параметрами. Затем из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, высотой и разностью радиусов вписанных окружностей оснований (или половинами сторон), найдем h.

Вычисление.

Пусть сторона нижнего основания равна x. Тогда сторона верхнего основания равна x/3 (так как коэффициент подобия равен 1/3).

Площадь нижнего основания: S_н =x². Площадь верхнего основания: S_в =x²/9.

Боковая поверхность состоит из четырёх равных равнобедренных трапеций. Высота каждой трапеции равна апофеме усечённой пирамиды l=4. Основания трапеций равны x и x/3. Площадь одной трапеции: S_трап =x+x/3/2×4=4x/3/2×4=2x/3×4=8x/3 Площадь всей боковой поверхности: S_бок =4×8x/3=32x/3

Полная поверхность: S_полн =S_н +S_в +S_бок =x²+x²/9+32x/3=10x²/9+32x/3 По условию S_полн =186. Составим уравнение: 10x²/9+32x/3=186 Умножим обе части на 9: 10x²+96x=1674 Разделим на 2: 5x²+48x-837=0 Найдем дискриминант: D=48²-4×5×(-837)=2304+16740=19044 D/4=4761, так как 19044/4=4761. Корень из 4761=69. Корни уравнения: x₁=-48+2×69/10=-48+138/10=90/10=9 x₂=-48-138/10<0(не подходит) Итак, сторона нижнего основания x=9 дм. Сторона верхнего основания y=9/3=3 дм.

Теперь найдем высоту усечённой пирамиды h. Рассмотрим осевое сечение или проекцию апофемы. В правильной пирамиде апофема, высота и отрезок на основании, соединяющий центр стороны с центром основания, образуют прямоугольный треугольник. Для усечённой пирамиды спроектируем апофему на основание. Разность расстояний от центра до середины стороны (апотем) равна разности половин сторон оснований: d=x/2-y/2=9/2-3/2=6/2=3 дм . Из прямоугольного треугольника с гипотенузой l=4 и катетом d=3 найдем второй катет, который является высотой усечённой пирамиды h: h=l²-d²/=4²-3²/=16-9/=7/=7/ (В тексте выше опечатка в записи корня, исправляем логику вывода: h=7/)

Проверка.

Если h=7/, то при x=9,y=3 апофема действительно равна 3²+(7/)²/=9+7/=16/=4, что совпадает с условием. Проверим площадь поверхности при x=9: S_н =81, S_в =9, S_бок =32×9/3=96. S_полн =81+9+96=186. Условие выполнено верно.