ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 270: Метод координат в пространстве

План решения.

Боковая поверхность усечённой пирамиды состоит из трёх трапеций. Так как основания — правильные треугольники, а одно боковое ребро перпендикулярно основаниям, то две боковые грани являются прямоугольными трапециями, а третья — равнобедренной трапецией (или также прямоугольной, в зависимости от ориентации, но здесь важно найти высоты этих трапеций). Нам нужно вычислить площади всех трёх граней и сложить их.

Вычисление.

Обозначим стороны нижнего основания a₁=5 см, верхнего a₂=3 см. Высота пирамиды H=1 см.

Рассмотрим проекцию вершин на плоскость основания. Пусть ребро AA′ перпендикулярно основанию. Тогда грань, прилежащая к этому ребру и стороне основания, является прямоугольной трапецией с основаниями 5 и 3 и высотой 1. Но таких граней может быть несколько? Нет, только одна сторона основания лежит напротив вершины, куда проецируется центр другого основания? Давайте разберёмся геометрически.

В правильной усечённой пирамиде центры оснований лежат на одной прямой, перпендикулярной основаниям. Однако условие говорит: «Одно из боковых рёбер... перпендикулярно к плоскостям оснований». Это значит, что пирамида не является правильной в строгом смысле (где все боковые рёбра равны), но основания — правильные многоугольники. Такая фигура называется усечённой пирамидой с основанием-треугольником.

Пусть нижнее основание ABC, верхнее A′B′C′. Ребро AA′⊥ABC. Тогда AA′=1 см.

Грань ABB′A′: это трапеция. Основания AB=5, A′B′=3. Поскольку AA′⊥AB (так как AA′⊥ плоскости, а AB лежит в ней), то эта трапеция прямоугольная. Её высота равна AA′=1. Площадь S₁=5+3/2·1=4 см².

Грань ACC′A′: аналогично, AA′⊥AC, поэтому это тоже прямоугольная трапеция с основаниями 5 и 3 и высотой 1. Площадь S₂=5+3/2·1=4 см².

Грань BCC′B′: это трапеция с основаниями BC=5 и B′C′=3. Чтобы найти её площадь, нужна высота этой трапеции. Найдём длины боковых сторон BB′ и CC′. В прямоугольном треугольнике ABB′ (если рассматривать проекцию?) Нет, проще через координаты или теорему Пифагора для пространственных отрезков. Точка A — начало координат (0,0,0). A′(0,0,1). Так как △ABC правильный со стороной 5, пусть B(5,0,0). Тогда C(2.5,53/2,0). Верхний треугольник A′B′C′ подобен нижнему с коэффициентом k=3/5. Вектор AB=(5,0,0), тогда A′B′=(3,0,0). Точка B′(3,0,1). Вектор AC=(2.5,53/2,0), тогда A′C′=(1.5,33/2,0). Точка C′(1.5,33/2,1). Найдём длину ребра BB′: B(5,0,0),B′(3,0,1)⇒BB′=(5-3)²+0²+(0-1)²=4+1=5. Найдём длину ребра CC′: C(2.5,53/2,0),C′(1.5,33/2,1). Δx=1,Δy=53-33/2=3,Δz=-1. CC′=1²+(3)²+(-1)²=1+3+1=5. Значит, трапеция BCC′B′ равнобедренная с боковыми сторонами 5. Основания: BC=5,B′C′=3. Высота трапеции h_tr найдётся из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой трапеции и проекцией боковой стороны на основание. Разность оснований делится пополам: x=5-3/2=1. h_tr=(BB′)²-x²=5-1²=4=2 см. Площадь третьей грани S₃=5+3/2·2=8 см².

Полная площадь боковой поверхности: S_бок =S₁+S₂+S₃=4+4+8=16 см² .

Проверка.

Логика построения верна: две грани примыкают к перпендикулярному ребру, они прямоугольные. Третья грань замыкает фигуру. Расчёты длин отрезков и высот трапеций подтверждены координатным методом. Сумма площадей даёт ответ, совпадающий с ключом.