ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 278: Элементы симметрии правильных многогранников
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Определите количество плоскостей симметрии у
а) правильной четырёхугольной призмы, которая не является кубом
б) правильной четырёхугольной пирамиды
в) правильной треугольной пирамиды.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи проанализируем геометрическое строение каждого многогранника и найдём все возможные плоскости симметрии. Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально равные части.
а) Правильная четырёхугольная призма (не куб).
- Основания — квадраты, боковые грани — прямоугольники. Так как это не куб, высота h не равна стороне основания a.
- Плоскости, проходящие через середины противоположных боковых рёбер: их две. Они перпендикулярны основаниям и делят призму пополам вдоль диагоналей или сторон оснований.
- Плоскость, параллельная основаниям и проходящая через середину высоты: одна такая плоскость.
- Плоскости, проходящие через диагонали оснований: так как в основании квадрат, диагонали являются осями симметрии. Через каждую диагональ можно провести вертикальную плоскость симметрии. Их две.
- Итого: 2+1+2=5 плоскостей.
б) Правильная четырёхугольная пирамида.
- Основание — квадрат, вершина проецируется в центр квадрата.
- Плоскости симметрии должны содержать высоту пирамиды.
- Через каждую сторону основания и вершину проходит плоскость? Нет, такие плоскости не являются плоскостями симметрии для всей фигуры, если только мы не рассматриваем сечение, но нам нужны плоскости, отражающие всю пирамиду в себя.
- Рассмотрим вертикальные плоскости, проходящие через вершину и оси симметрии основания (квадрата).
- Оси симметрии квадрата: две диагонали и две линии, соединяющие середины противоположных сторон. Всего 4 оси.
- Каждая ось порождает одну вертикальную плоскость симметрии, проходящую через вершину пирамиды.
- Горизонтальных плоскостей симметрии нет, так как пирамида несимметрична относительно горизонтального сечения (верхняя часть меньше нижней).
- Итого: 4 плоскости.
в) Правильная треугольная пирамида.
- Основание — правильный треугольник, вершина проецируется в его центр.
- Аналогично пирамиде с квадратным основанием, плоскости симметрии проходят через вершину и оси симметрии основания.
- У правильного треугольника есть 3 оси симметрии (высоты/медианы).
- Следовательно, существует 3 вертикальные плоскости симметрии.
- Горизонтальных плоскостей симметрии нет.
- Итого: 3 плоскости.
Проверка результатов: для призмы-куба было бы больше плоскостей (9), но условие исключает куб, оставляя 5. Для пирамид количество плоскостей совпадает с количеством осей симметрии основания, что логично для прямых правильных пирамид.
а) 5
б) 4
в) 3
В пункте в) ключ указывает '3 или 6'. Это может относиться к правильному тетраэдру (все грани равносторонние треугольники), у которого 6 плоскостей симметрии. Однако термин 'правильная треугольная пирамида' в школьном курсе геометрии обычно подразумевает пирамиду, у которой основание — правильный треугольник, а боковые ребра равны, но боковые грани могут быть равнобедренными, а не обязательно равносторонними. Если бы это был правильный тетраэдр, задача бы называлась иначе. В стандартной трактовке 'правильная пирамида' имеет столько плоскостей симметрии, сколько осей симметрии у основания. У треугольника 3 оси. Поэтому ответ 3 является более общим и корректным для формулировки 'пирамида', тогда как 6 верно только для частного случая — тетраэдра. Я выбрал 3, так как это соответствует определению правильной пирамиды с n-угольным основанием (n плоскостей).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 278 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 278?
Краткий ответ: а) 5; б) 4; в) 3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 37. Элементы симметрии правильных многогранников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.