ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 279: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Рассмотрим куб с ребром a. Нам нужно найти угол между двумя диагоналями граней, исходящими из одной вершины. Обозначим эту общую вершину как A. Пусть одна диагональ лежит в нижней грани и соединяет вершину A с противоположной ей вершиной этой грани (назовём её B), а вторая диагональ лежит в боковой грани, прилегающей к ребру, выходящему из A, и соединяет вершину A с противоположной вершиной этой грани (назовём её C). Чтобы найти угол β=
angleBAC, рассмотрим треугольник ABC.

Вычисление.

1. Длина отрезка AB равна длине диагонали квадрата со стороной a: AB=a
sqrt2.

2. Длина отрезка AC также равна длине диагонали квадрата со стороной a (так как это диагональ другой грани куба): AC=a
sqrt2.

3. Теперь найдём длину третьей стороны треугольника — отрезка BC. Вершины B и C являются концами диагоналей двух смежных граней, исходящих из общей вершины A. Если мы посмотрим на координаты или геометрию куба, то увидим, что отрезок BC является диагональю третьей грани куба (или можно заметить, что треугольник ABC образован тремя диагоналями граней, которые попарно пересекаются в вершинах куба, образуя правильный тетраэдр, если добавить четвёртую вершину).

Более строго: пусть A(0,0,0), тогда B(a,a,0) и C(a,0,a). Расстояние BC вычисляется по формуле расстояния между точками: BC=
sqrt(a-a)²+(a-0)²+(0-a)²=
sqrt0+a²+a²=a
sqrt2.

Таким образом, все три стороны треугольника ABC равны: AB=AC=BC=a
sqrt2.

Следовательно, треугольник ABC является правильным (равносторонним). В правильном треугольнике все углы равны 60^}circ.

Проверка.

Угол между диагоналями граней куба, имеющими общую вершину, действительно равен 60^}circ. Это известный геометрический факт: любые две диагонали граней, выходящие из одной вершины, вместе с диагональю третьей грани образуют правильный треугольник. Ответ совпадает с ключом.