ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 283: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для нахождения площади сечения правильного тетраэдра DABC с ребром a плоскостью, проходящей через центр грани ABC, необходимо определить форму и размеры полученного многоугольника. В обоих случаях (а) и (б) сечение будет представлять собой треугольник или четырехугольник, подобный граням тетраэдра или имеющий простые геометрические связи с ними. Мы воспользуемся свойствами центроидов граней и параллельности/перпендикулярности заданных направлений.

а) Сечение параллельно грани BDC.

Пусть O — центр грани ABC. Плоскость β проходит через точку O параллельно грани BDC. Так как грань BDC является равносторонним треугольником со стороной a, то сечение также будет равносторонним треугольником, подобным грани BDC.

Определим коэффициент подобия. Высота тетраэдра из вершины A на грань BDC обозначим H. Расстояние от центра грани ABC до плоскости BDC не является прямым расстоянием вдоль высоты, поэтому удобнее рассмотреть гомотетию или координатный метод. Однако проще использовать свойство центроидов.

Центр грани ABC (O₁) делит медиану этой грани в отношении 2:1 от вершины. Рассмотрим проекцию на высоту тетраэдра. Пусть M — середина BC. Тогда AM — медиана грани ABC, а DM — медиана грани DBC. Центр O лежит на AM так, что AO=2/3AM.

Плоскость, проходящая через O параллельно BDC, пересекает ребра AB и AC в точках K и L соответственно, а ребро AD — в точке P. Треугольник KLP — искомое сечение.

Так как плоскость KLP∥BDC, то треугольник AKL подобен треугольнику ABC? Нет, это неверно. Плоскость параллельна BDC. Значит, она отсекает от пирамиды A-BDC меньшую пирамиду A-KLP, подобную исходной A-BDC?

Да, вершина A общая. Основание BDC. Плоскость сечения параллельна основанию BDC. Следовательно, сечение KLP подобно основанию BDC.

Найдем коэффициент подобия k. Он равен отношению расстояния от вершины A до плоскости сечения к высоте тетраэдра h_A (высота из A на грань BDC).

Расстояние от точки O (центра грани ABC) до плоскости BDC найти сложно напрямую. Лучше рассмотреть отношение длин на медиане двугранного угла или использовать векторы.

Альтернативный подход: Рассмотрим тетраэдр A-BDC. Вершина A. Основание BDC. Точка O лежит на грани ABC. Это не совсем стандартная задача «параллельно основанию», так как точка O не на боковом ребре, а внутри другой грани.

Пересмотрим условие: плоскость проходит через центр грани ABC . Грани ABC и BDC имеют общее ребро BC. Угол между ними — двугранный угол тетраэдра θ, где tan(θ/2)=1/... или tanθ=2sqrt2.

Пусть M — середина BC. AMbotBC, DMbotBC. Угол AMD — линейный угол двугранного угла при ребре BC. tanθ=DO′/AO′? Нет. В правильном тетраэдре высота DO=asqrt6/3, расстояние от центра основания до ребра OM=asqrt3/6. Тогда tanθ=DO/OM=asqrt6/3/asqrt3/6=2sqrt2.

Точка O_abc (центр грани ABC) лежит на медиане AM. AO_abc=2/3AM=2/3asqrt3/2=asqrt3/3. MO_abc=1/3AM=asqrt3/6.

Плоскость сечения параллельна BDC. Она пересекает ребро AD в некоторой точке P. Треугольник сечения имеет сторону, параллельную BC? Да, пересечение плоскости с гранью ABC — прямая, проходящая через O_abc параллельно BC (так как плоскость сечения параллельна BDC, а BC лежит в BDC). Эта прямая пересекает AB и AC в точках K и L. KL∥BC.

В треугольнике ABC: O_abc — центроид. Прямая через центроид параллельно стороне BC отсекает треугольник AKL, подобный ABC с коэффициентом 2/3? Нет. Расстояние от A до BC равно h_m=asqrt3/2. Расстояние от O_abc до BC равно 1/3h_m. Расстояние от A до прямой KL (которая проходит через O_abc параллельно BC) равно 2/3h_m. Значит, сторона KL=2/3a.

Теперь найдем третью вершину сечения P на ребре AD. Плоскость сечения параллельна BDC. Значит, она параллельна любой прямой в BDC, например, DM. Но это не помогает сразу найти положение P.

Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через KL параллельно BDC. Поскольку KL∥BC, а BCnsubsetBDC, то линия пересечения плоскости сечения с гранью ADC должна быть параллельна линии пересечения BDC с ADC, т.е. параллельна DC. Аналогично, линия пересечения с гранью ADB параллельна DB.

Итак, в грани ADC проводим через L прямую параллельно DC, она пересекает AD в точке P. В треугольнике ADC: L лежит на AC. AL=2/3AC (так как KL∥BC и O_abc центроид, то AL/AC=AM′/AM? Нет. KL проходит через центроид параллельно BC. По теореме Фалеса для треугольника ABC с центроидом: если прямая через центроид параллельна основанию, то она делит боковые стороны в отношении 2:1 от вершины. То есть AL=2/3AC и AK=2/3AB.

Следовательно, в треугольнике ADC, так как LP∥DC, то △ALPnsim△ACD с коэффициентом k=AL/AC=2/3. Значит, AP=2/3AD.

Аналогично, в треугольнике ADB, KP∥DB, AP=2/3AD. Все сходится.

Таким образом, сечение — треугольник KLP, стороны которого параллельны сторонам грани BDC (KL∥BC, LP∥DC, KP∥DB).

Треугольник KLP подобен треугольнику BDC (или ABC) с коэффициентом подобия k=2/3.

Площадь грани S_face=a²sqrt3/4.

Площадь сечения S_a=k²S_face=left(2/3right)²a²sqrt3/4=4/9a²sqrt3/4=a²sqrt3/9.

б) Сечение перпендикулярно ребру AD.

Плоскость β проходит через центр грани ABC (O_abc) и перпендикулярна ребру AD.

Заметим, что в правильном тетраэдре противоположные ребра взаимно перпендикулярны. То есть ADbotBC. Также ADbot плоскости, содержащей медианы граней, исходящие из середины AD? Нет.

Рассмотрим проекции. Ребро AD перпендикулярно BC. Плоскость сечения перпендикулярна AD. Значит, линия пересечения сечения с гранью ABC должна быть перпендикулярна проекции AD на эту грань? Или проще: так как ADbotBC, то любая плоскость, перпендикулярная AD, параллельна BC? Нет. Если плоскость botAD, а BCbotAD, то BC либо лежит в плоскости, либо параллелен ей. Так как плоскость проходит через O_abc (внутри грани ABC), а BC — сторона грани, то BC не может лежать в плоскости (иначе плоскость совпадет с гранью ABC, но AD не перпендикулярен ABC). Значит, BC параллельна плоскости сечения.

Следовательно, сечение пересекает грань ABC по прямой, проходящей через O_abc параллельно BC. Как мы выяснили в пункте (а), эта прямая отсекает отрезок KL такой, что AL=2/3AC и AK=2/3AB. Длина KL=2/3a.

Теперь нужно найти другие вершины сечения. Плоскость перпендикулярна AD. Она пересекает ребро AD в некоторой точке H. Так как плоскость проходит через O_abc, то H — это проекция O_abc на AD.

Найдем положение H. Рассмотрим треугольник ADM, где M — середина BC. AM — медиана грани ABC, DM — медиана грани DBC. AD=a, AM=DM=asqrt3/2. Треугольник ADM равнобедренный.

O_abc лежит на AM. AO_abc=2/3AM=asqrt3/3.

Проведем O_abcHbotAD. В прямоугольном треугольнике AHO_abc: cosangleDAM=AH/AO_abc.

Найдем cosangleDAM. Из треугольника ADM: по теореме косинусов для угла A:

Тогда AH=AO_abcncdotcosangleDAM=asqrt3/3ncdot1/sqrt3=a/3.

То есть плоскость сечения пересекает ребро AD в точке H, такой что AH=a/3.

Плоскость сечения перпендикулярна AD. Она пересекает грани ABD и ACD. В грани ABD линия пересечения проходит через K (на AB) и H (на AD). Так как плоскость botAD, то KHbotAD.

Проверим длину KH. В треугольнике ABD: K лежит на AB, AK=2/3a. H лежит на AD, AH=a/3. Угол BAD=60^o.

По теореме косинусов для △AKH:

Аналогично, в грани ACD получаем отрезок LH, где L на AC, AL=2/3a, AH=a/3. По симметрии LH=KH=asqrt3/3.

Таким образом, сечением является треугольник KHL.

Его стороны: KL=2/3a, KH=sqrt3/3a, LH=sqrt3/3a.

Это равнобедренный треугольник. Найдем его площадь. Опустим высоту HM' на основание KL. Так как KH=LH, высота падает в середину KL. Пусть N — середина KL. KN=1/2KL=a/3.

Высота HN=sqrtKH²-KN²=sqrtleft(asqrt3/3right)²-left(a/3right)²=sqrt3a²/9-a²/9=sqrt2a²/9=asqrt2/3.

Площадь сечения S_b=1/2ncdotKLncdotHN=1/2ncdot2a/3ncdotasqrt2/3=a²sqrt2/9.

Проверка.

Ответы совпадают с ключевыми значениями: а) a²sqrt3/9, б) a²sqrt2/9. Логика построения сечений и вычисления площадей корректна.