ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 284: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения. Чтобы определить форму полученного тела, проанализируем процесс отсечения углов правильного тетраэдра. Исходный тетраэдр имеет ребро a=2. В каждой из его четырёх вершин мы отсекаем малый тетраэдр с ребром b=1. Нам нужно понять, какие грани образуются на месте срезов и как они соединяются с оставшимися частями исходных граней.

Вычисление и анализ геометрии. Рассмотрим одну грань исходного тетраэдра — это равносторонний треугольник со стороной 2. При отсечении трёх углов этой грани (так как каждая вершина грани является вершиной тетраэдра) мы убираем три маленьких равносторонних треугольника со стороной 1, прилегающих к углам большого треугольника. Если из равностороннего треугольника со стороной 2 вырезать три уголка со стороной 1, то в центре останется фигура. Стороны этого центрального многоугольника являются основаниями отсечённых уголков, их длина равна 1. Углы при вершинах этого центрального многоугольника также равны 60^° (так как они образованы пересечением линий, параллельных сторонам исходного треугольника). Следовательно, на месте каждой исходной грани образуется правильный шестиугольник? Нет, давайте проверим внимательнее. Возьмём сторону треугольника длиной 2. На ней отмечены точки деления пополам (так как отрезаем отрезок длины 1 от каждого конца). Точка деления одна — середина стороны. Отсечение идёт плоскостями, проходящими через середины рёбер, сходящихся в вершине. Плоскость отсечения проходит через три середины рёбер, исходящих из одной вершины. Эта плоскость отсекает тетраэдр, подобный исходному с коэффициентом 1/2. Основанием этого малого тетраэдра является равносторонний треугольник, вершинами которого служат середины рёбер исходного тетраэдра. Таким образом, после отсечения всех четырёх вершин: 1. Исчезают все исходные вершины тетраэдра. 2. Появляются новые вершины — середины всех рёбер исходного тетраэдра. У тетраэдра 6 рёбер, значит, новых вершин будет 6. 3. Грани исходного тетраэдра превращаются в меньшие треугольники. Так как мы отсекли углы до середин сторон, то от каждого исходного треугольного лица остаётся центральный треугольник, соединяющий середины сторон. Этот треугольник тоже равносторонний со стороной 1 (средняя линия). 4. На месте каждой отсечённой вершины появляется новая грань. Эта грань — треугольник, образованный тремя новыми вершинами (середиными рёбер), сходящимися в отсечённой вершине. Так как все рёбра исходного тетраэдра равны, то расстояния между серединами рёбер, исходящих из одной вершины, также равны (1). Значит, эти новые грани — правильные треугольники со стороной 1. Итого у нас есть: - 4 грани, оставшиеся от исходных граней тетраэдра (правильные треугольники со стороной 1). - 4 новые грани, появившиеся на месте отсечённых вершин (правильные треугольники со стороной 1). Всего граней: 4+4=8. Все грани — правильные треугольники. Вершин: 6 (середины рёбер). Ребёр: каждое исходное ребро разбивается на два новых ребра? Нет, ребра получившегося тела лежат на плоскостях отсечения и на остатках граней. Посчитаем рёбра: у октаэдра должно быть 12 рёбер. Проверим: вокруг каждой из 6 вершин сходится 4 ребра (так как вершина лежит на середине ребра исходного тетраэдра, и к ней примыкают две грани-треугольника от исходных граней и две грани-треугольника от отсечённых вершин... стоп, давайте проще). Фигура, имеющая 8 граней, являющихся правильными треугольниками, и 6 вершин, где сходятся по 4 ребра, — это правильный октаэдр . Его ребро равно половине ребра исходного тетраэдра, то есть 1.

Проверка. Правильный октаэдр можно рассматривать как двойственный многогранник к кубу или как результат усечения тетраэдра до середины рёбер. Если усечь правильный тетраэдр так, чтобы плоскости усечения проходили через середины рёбер, то получится именно октаэдр. Это известный геометрический факт: октаэдр вписывается в тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с серединами рёбер тетраэдра. Поскольку мы отсекли всё лишнее за пределами этих середин, оставшаяся часть — это и есть октаэдр.