ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 288: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для доказательства утверждений о количестве вершин и рёбер любой призмы необходимо обратиться к определению этого многогранника. Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы. Обозначим количество сторон основания призмы за n, где n≥3 (так как основанием может быть только треугольник или многоугольник с большим числом сторон).

Вычисление и доказательство.

1. Количество вершин. Вершины призмы образуются вершинами её оснований. Поскольку верхнее основание является копией нижнего, то если в одном основании n вершин, то во втором также n вершин. Таким образом, общее количество вершин V равно: V=n+n=2n Так как n — натуральное число, произведение 2n всегда делится на 2 без остатка. Следовательно, количество вершин любой призмы является чётным числом.

2. Количество рёбер. Рёбра призмы можно разделить на три группы:

• Рёбра нижнего основания: их количество равно числу сторон многоугольника, то есть n.
• Рёбра верхнего основания: аналогично, их количество равно n.
• Боковые рёбра: они соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Так как вершин в каждом основании по n, то и боковых рёбер ровно n.

Общее количество рёбер E вычисляется как сумма рёбер всех групп: E=n+n+n=3n Очевидно, что выражение 3n кратно трём для любого натурального n. Следовательно, количество рёбер любой призмы кратно трём.

Проверка.

Рассмотрим конкретные примеры призм, чтобы убедиться в правильности вывода. * Треугольная призма (n=3): Количество вершин V=2·3=6 (чётное). Количество рёбер E=3·3=9 (кратно 3). * Четырёхугольная призма (n=4): Количество вершин V=2·4=8 (чётное). Количество рёбер E=3·4=12 (кратно 3). * Шестиугольная призма (n=6): Количество вершин V=2·6=12 (чётное). Количество рёбер E=3·6=18 (кратно 3). Во всех случаях утверждения выполняются, что подтверждает общий вывод.