ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 291: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для нахождения площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда S_бок =P_осн ·h, где P_осн — периметр основания, а h — высота. Нам даны диагональ d, угол между диагональю и плоскостью основания φ, а также угол между диагональю и стороной основания θ. Сначала выразим высоту h и проекцию диагонали на основание через d и φ. Затем, используя треугольник, образованный диагональю, её проекцией и стороной основания, найдём одну из сторон основания через θ. После этого определим вторую сторону основания и вычислим итоговую площадь.

Вычисления.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда d, высотой h и диагональю основания d_осн. Угол между диагональю и плоскостью основания равен φ. Тогда:

2. Пусть стороны основания равны a и b. Диагональ основания связана с ними соотношением d2осн =a²+b². Подставим выражение для d_осн:

3. Теперь рассмотрим угол θ между диагональю параллелепипеда и стороной основания (пусть это будет сторона a). В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю d, стороной a и отрезком, соединяющим конец диагонали с концом стороны a в пространстве (это не совсем так, нужно быть внимательнее).

Более корректный подход: пусть вектор диагонали имеет компоненты (a,b,h). Длина диагонали d=a²+b²+h².
Угол φ между диагональю и плоскостью основания (xy-плоскость): sinφ=h/d⇒h=dsinφ.
Проекция диагонали на основание имеет длину d′=a²+b²=dcosφ.

Угол θ между диагональю и стороной основания a. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению делённому на произведение длин. Вектор диагонали D=(a,b,h), вектор стороны A=(a,0,0).
cosθ=D·A/|D||A|=a·a+b·0+h·0/d·a=a²/da=a/d Отсюда находим сторону a:
a=dcosθ

4. Найдём сторону b. Используем соотношение для диагонали основания:
a²+b²=d²cos²φ Подставим a=dcosθ:
(dcosθ)²+b²=d²cos²φ b²=d²cos²φ-d²cos²θ=d²(cos²φ-cos²θ) Используем формулу разности квадратов косинусов или преобразуем к синусам/косинусам сумм и разностей. Удобно использовать тождество cos²x-cos²y=sin(y+x)sin(y-x)? Нет, проверим:
cos²φ-cos²θ=(1-sin²φ)-(1-sin²θ)=sin²θ-sin²φ.
Также известно, что sin²A-sin²B=sin(A+B)sin(A-B).
Значит, b²=d²sin(θ+φ)sin(θ-φ).
Тогда b=dsin(θ+φ)sin(θ-φ).

5. Вычислим площадь боковой поверхности.
Периметр основания P_осн =2(a+b).
Высота h=dsinφ.
S_бок =2(a+b)h=2(dcosθ+dsin(θ+φ)sin(θ-φ))·dsinφ Вынесем d за скобки внутри суммы и умножим на внешний d:
S_бок =2d²sinφ(cosθ+sin(θ+φ)sin(θ-φ))

Проверка.

Размерность ответа: d² — площадь, тригонометрические функции безразмерны. Всё верно.
Если θ=90^° (диагональ перпендикулярна стороне a, что невозможно для прямой призмы, кроме вырожденного случая, но математически cosθ=0), то a=0, параллелепипед вырождается в пластину. Формула даёт S=2d²sinφ…, что согласуется с отсутствием одной пары граней.
Ответ совпадает с ключом учебника.