ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 293: Элементы симметрии правильных многогранников
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 диагонали B_1D и D_1B перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями A_1C и B_1D равен 60°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства утверждения удобно использовать метод координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в центре нижнего основания призмы или в одной из вершин. Пусть сторона основания равна a, а высота призмы равна h. Нам нужно выразить векторы диагоналей, используя условие их перпендикулярности, чтобы найти связь между a и h, а затем вычислить косинус угла между другими диагоналями.
Вычисление.
1. Разместим начало координат в точке D(0;0;0). Тогда координаты вершин будут следующими: D(0;0;0), A(a;0;0), B(a;a;0), C(0;a;0) Верхнее основание смещено по оси z на высоту h: D1(0;0;h), A1(a;0;h), B1(a;a;h), C1(0;a;h)
2. Найдём координаты векторов диагоналей B1D и D1B. Вектор B1D=D-B1=(0-a;0-a;0-h)=(-a;-a;-h). Вектор D1B=B-D1=(a-0;a-0;0-h)=(a;a;-h).
3. Используем условие перпендикулярности этих диагоналей. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: B1D·D1B=(-a)(a)+(-a)(a)+(-h)(-h)=-a2-a2+h2=h2-2a2 Приравниваем к нулю: h2-2a2=0impliesh2=2a2impliesh=a2 Таким образом, высота призмы связана со стороной основания соотношением h=a2.
4. Теперь найдём угол между диагоналями A1C и B1D. Сначала определим координаты вектора A1C: A1C=C-A1=(0-a;a-0;0-h)=(-a;a;-h) Вектор B1D мы уже нашли: (-a;-a;-h).
5. Вычислим косинус угла φ между этими векторами по формуле скалярного произведения: cosφ=|A1C·B1D|/|A1C|·|B1D| Скалярное произведение: A1C·B1D=(-a)(-a)+(a)(-a)+(-h)(-h)=a2-a2+h2=h2 Длины векторов: |A1C|=(-a)2+a2+(-h)2=2a2+h2 |B1D|=(-a)2+(-a)2+(-h)2=2a2+h2 Подставим найденное ранее соотношение h2=2a2: |A1C|=2a2+2a2=4a2=2a |B1D|=2a Тогда косинус угла: cosφ=h2/2a·2a=2a2/4a2=1/2
Проверка и вывод.
Мы получили, что cosφ=1/2. Угол, косинус которого равен 1/2, составляет 60°. Это подтверждает требуемое утверждение. Логика решения последовательна: сначала через ортогональность заданных диагоналей найдено геометрическое свойство призмы (h=a2), затем это свойство использовано для расчёта угла между другими диагоналями. Ошибок в алгебраических преобразованиях не обнаружено.
Доказано: угол равен 60°
Задача решается методом координат. Ключевой момент — использование условия перпендикулярности скрещивающихся диагоналей боковых граней (или пространственных диагоналей, как в условии) для нахождения связи между высотой и стороной основания. Далее вычисляется косинус угла между векторами.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 293 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 293?
Краткий ответ: Доказано: угол равен 60°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 37. Элементы симметрии правильных многогранников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.