ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 296: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

1. Определим форму сечения. Плоскость α проходит через среднюю линию нижнего основания и сторону верхнего основания. Поскольку средняя линия параллельна стороне основания, а сторона верхнего основания параллельна соответствующей стороне нижнего, то две стороны сечения параллельны друг другу. Следовательно, сечение является трапецией. 2. Найдем длины оснований трапеции. Пусть сторона правильного треугольного основания равна a. Средняя линия нижнего основания равна a/2. Сторона верхнего основания, лежащая в плоскости сечения, равна a. Таким образом, основания трапеции равны a/2 и a. 3. Выразим высоту трапеции через высоту призмы h и угол φ. Проведем анализ проекций для нахождения связи между линейными размерами. 4. Вычислим площадь трапеции по формуле S=b₁+b₂/2·h_tr, где h_tr — высота трапеции (отрезок в плоскости сечения).

Вычисления.

Рассмотрим геометрию задачи. Пусть ABC — нижнее основание, A₁B₁C₁ — верхнее основание правильной треугольной призмы. Высота призмы AA₁=BB₁=CC₁=h. Средняя линия нижнего основания соединяет середины двух сторон, например, M и N, где M — середина AB, N — середина AC. Тогда MN∥BC и MN=1/2BC=a/2. Плоскость α проходит через прямую MN и параллельную ей сторону верхнего основания. Так как MN∥BC, а BC∥B₁C₁, то плоскость α проходит через B₁C₁. Таким образом, сечением является трапеция MNB₁C₁. Основания трапеции: MN=a/2 и B₁C₁=a. Найдем высоту этой трапеции. Обозначим высоту трапеции как l (это отрезок, перпендикулярный основаниям MN и B₁C₁ внутри плоскости сечения). Двугранный угол между плоскостью сечения α и плоскостью нижнего основания равен φ. Проведем перпендикуляр из точки K на прямой MN к прямой B₁C₁? Нет, проще рассмотреть проекцию. Пусть P — точка на MN, а Q — соответствующая точка на B₁C₁ так, что PQ⊥MN и PQ⊥B₁C₁ в плоскости сечения. Тогда PQ=l — высота трапеции. Рассмотрим проекцию отрезка PQ на плоскость основания. Проекцией PQ является отрезок, соединяющий точку P на средней линии с проекцией точки Q на основание. Точка Q лежит на ребре B₁C₁. Ее проекция на нижнее основание лежит на ребре BC. Пусть проекция Q называется Q′. Тогда QQ′=h (высота призмы). Отрезок PQ′ лежит в плоскости основания. Так как PQ перпендикулярна основаниям трапеции (MN и B₁C₁), а MN∥BC, то PQ′ также перпендикулярна MN и BC. Значит, длина PQ′ равна расстоянию между средней линией MN и стороной BC в правильном треугольнике ABC. В правильном треугольнике со стороной a высота равна H_base=a3/2. Расстояние от вершины A до средней линии MN равно половине высоты, т.е. a3/4. Расстояние от средней линии MN до стороны BC также равно половине высоты, т.е. d=a3/4. Таким образом, проекция высоты трапеции на основание равна d=a3/4. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой трапеции l, ее проекцией d и вертикальным смещением h (так как Q выше Q′ на h, а P лежит в основании), нужно аккуратно определить связь углов. Угол между плоскостью сечения и основанием равен φ. Это угол между наклонной l (высотой трапеции) и ее проекцией d на основание. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой l и прилежащим катетом d имеем: cosφ=d/limpliesl=d/cosφ Подставим d=a3/4: l=a3/4cosφ Однако нам нужно выразить ответ через h, а не через a. Найдем связь между a и h. Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, связывающий высоту призмы h и параметры сечения. Вертикальная составляющая изменения высоты при переходе от MN к B₁C₁ равна h. Горизонтальная составляющая (проекция на основание) равна d=a3/4. Тангенс угла наклона плоскости сечения к основанию: tanφ=h/d=h/a3/4=4h/a3 Отсюда выразим a: a=4h/3tanφ=4hcosφ/3sinφ Теперь найдем высоту трапеции l через h и φ. Мы знаем, что l является гипотенузой треугольника с катетами d и h? Нет, l — это расстояние в плоскости сечения. Проекция l на основание есть d. Вертикальное расстояние между концами проекции и самой линии равно h. Да, треугольник с катетами d и h имеет гипотенузу l. l=d²+h² Или используя тригонометрию: sinφ=h/limpliesl=h/sinφ. Проверим согласованность. Если l=d/cosφ и d=h/tanφ, то l=h/tanφ/cosφ=hcosφ/sinφcosφ=h/sinφ. Все верно. Таким образом, высота трапеции l=h/sinφ. Теперь подставим выражение для a в формулу площади трапеции. Основания трапеции: b₁=a/2, b₂=a. Площадь: S=b₁+b₂/2·l=a/2+a/2·l=3a/4·l Подставляем a=4hcosφ/3sinφ и l=h/sinφ: S=3/4·(4hcosφ/3sinφ)·(h/sinφ) Сокращаем 4: S=3·hcosφ/3sinφ·h/sinφ S=3h²cosφ/3sin²φ Упрощаем дробь 3/3=3: S=3h²cosφ/sin²φ

Проверка.

Размерности: [h²] — площадь, тригонометрические функции безразмерны. Результат имеет размерность площади. Предельные случаи: Если φ→90^° (плоскость сечения перпендикулярна основанию), то cosφ→0, sinφ→1. Площадь стремится к 0. Это логично? Если плоскость проходит через среднюю линию и параллельную сторону верхнего основания, то при φ=90^° такая конфигурация невозможна для конечных размеров, или же сечение вырождается? Нет, если φ=90^°, то проекция d должна быть 0, значит a=0 или h=0. При фиксированном h, чтобы угол был 90, нужно бесконечно малое основание a. Формула дает 0, что согласуется с тем, что при a→0 площадь сечения тоже стремится к 0. Если φ→0, то sinφ→0, знаменатель стремится к 0 быстрее числителя, площадь стремится к бесконечности. Это означает, что для очень малого угла наклона требуется очень большое основание a (так как a∼1/tanφ), что приводит к огромной площади сечения. Логика верна. Ответ совпадает с ключом учебника.