ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 298: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения. Для нахождения площади полной поверхности параллелепипеда необходимо определить его геометрические параметры. По условию основание — квадрат со стороной a, а боковое ребро равно b. Ключевое условие: одна из вершин верхнего основания (A₁) находится на равном расстоянии от всех вершин нижнего основания (A,B,C,D). Это означает, что проекция вершины A₁ на плоскость основания совпадает с центром квадрата O. Таким образом, параллелепипед является прямой призмой (или прямоугольным параллелепипедом в частном случае, но здесь важно понять форму боковых граней).Однако, если проекция вершины A₁ падает в центр основания O, то это не прямоугольный параллелепипед, а наклонный. Но давайте внимательно посмотрим на определение параллелепипеда и условие "вершина верхнего основания". Если бы это был обычный наклонный параллелепипед, то все боковые грани были бы параллелограммами. Условие симметрии относительно центра основания для одной вершины верхнего основания накладывает строгие ограничения на углы наклона боковых ребер.Рассмотрим треугольник A₁AO. Так как A₁ равноудалена от A,B,C,D, то A₁A=A₁B=A₁C=A₁D. Пусть H — высота параллелепипеда. Тогда проекция A₁ на основание есть точка O (центр квадрата). Расстояние от центра O до любой вершины квадрата A равно половине диагонали: OA=a2/2. В прямоугольном треугольнике A₁OA гипотенуза A₁A равна боковому ребру b? Нет, A₁A — это ребро, соединяющее соответствующие вершины оснований. В параллелепипеде AA₁ — это боковое ребро, длина которого по условию равна b. Значит, в △A₁OA: катет OA=a/2, гипотенуза AA₁=b. Отсюда можно найти высоту H=A₁O=b²-OA²=b²-a²/2.Теперь определим площадь боковой поверхности. Параллелепипед имеет две пары противоположных боковых граней. Поскольку проекция верхней вершины A₁ лежит в центре основания, то весь верхний квадрат смещен относительно нижнего так, что его центр совпадает с центром нижнего? Нет, это невозможно для параллелепипеда, если только он не вырожден или не является прямым. Давайте пересмотрим геометрию.Если A₁ проектируется в центр O, то вектор смещения основания v таков, что конец вектора из точки A попадает в A₁. То есть AA₁=AO+OH′, где H′ — проекция A₁. Но в параллелепипеде все боковые ребра равны и параллельны. Если ребро AA₁ наклонено так, что A₁ над центром, то ребро CC₁ будет наклонено в другую сторону (так как C симметрично A относительно O), и C₁ окажется над точкой, симметричной центру относительно... нет, вектор CC₁=AA₁. Если AA₁ имеет горизонтальную составляющую, направленную от A к O, то CC₁ тоже имеет такую же составляющую. Тогда C₁ будет находиться над точкой C+CO=O. То есть и A₁, и C₁ проецируются в одну точку O? Это невозможно, так как A₁ и C₁ — разные вершины верхнего основания, они должны быть на расстоянии aдиагональ/... друг от друга. Верхнее основание — квадрат со стороной a. Диагональ верхнего основания равна aдиагональ/... =aдиагональ/.... Расстояние между A₁ и C₁ должно быть равно диагонали квадрата aдиагональ/.... Если их проекции совпадают в точке O, то расстояние между ними равно разности высот или чему-то еще, но они лежат в одной плоскости верхнего основания. Значит, их проекции не могут совпадать, если только верхнее основание не вырождено в точку.Следовательно, мое предположение о том, что проекция A₁ — это центр O, верно для расстояния до вершин нижнего основания, но это не значит, что A₁ находится над центром O в смысле вертикальной проекции всей фигуры. Да, A₁ находится над центром O. Тогда где находятся B_1,C_1,D₁?Вектор AA₁ связывает A и A₁. Горизонтальная составляющая этого вектора равна AO. Длина этой составляющей |AO|=a/2. Вертикальная составляющая равна высоте H. Тогда b²=H²+(a/2)², откуда H=b²-a²/2.Так как это параллелепипед, то BB₁=AA₁. Точка B₁ получается из B прибавлением того же вектора. Проекция B₁ на основание будет точка B′=B+AO. Аналогично для других вершин. Боковые грани — параллелограммы. Нам нужно найти их площади.Рассмотрим грань ABB₁A₁. Это параллелограмм со сторонами AB=a и AA₁=b. Его площадь равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, или модулю векторного произведения смежных сторон. Проще использовать формулу площади через диагонали или проекции. Высота параллелограмма ABB₁A₁, опущенная на сторону AB, равна длине проекции вектора AA₁ на направление, перпендикулярное AB в плоскости грани? Нет, проще: площадь боковой грани равна произведению длины ребра основания на длину апофемы боковой грани? Не совсем.Давайте найдем площадь каждой боковой грани отдельно. Все боковые грани конгруэнтны? Нет. Из-за смещения вершины A₁ в центр, фигура обладает осевой симметрией относительно плоскостей, проходящих через диагонали основания? Или середины сторон?Вектор смещения u (горизонтальная часть AA₁) равен AO. Он направлен по диагонали AC. Длина |u|=a/2. Высота H=b²-a²/2.Грани ABB₁A₁ и CDD₁C₁ примыкают к сторонам AB и CD. Вектор u составляет угол 45 exto со стороной AB. Площадь параллелограмма S_side1=AB·h₁, где h₁ — высота параллелограмма, опущенная на AB. Эта высота равна длине проекции вектора AA₁ на прямую, перпендикулярную AB в пространстве? Нет, площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AA₁, равна |\bar{AB} \times \bar{AA_1}|.Введем систему координат. Центр O(0,0,0). A(-a/2,-a/2,0), B(a/2,-a/2,0), C(a/2,a/2,0), D(-a/2,a/2,0). (Здесь я повернул оси так, чтобы стороны были параллельны осям X и Y, тогда координаты вершин будут иметь модули a/2). Проверим: расстояние AB=a. Да. Вершина A₁ проектируется в O(0,0,H). Координаты A₁(0,0,H). Вектор AA₁=A₁-A=(a/2,a/2,H). Длина |AA₁|=a²/4+a²/4+H²=a²/2+H²=b. Отсюда H=b²-a²/2.

Найдем площадь грани ABB₁A₁. Векторы: AB=(a,0,0). AA₁=(a/2,a/2,H). Векторное произведение n=AB×AA₁=ijka00a/2a/2H=i(0)-j(aH)+k(a²/2)=(0,-aH,a²/2). Модуль вектора нормального: |n|=a^2H2+a⁴/4=aH²+a²/4. Подставим H²=b²-a²/2: |n|=ab²-a²/2+a²/4=ab²-a²/4. Это площадь грани ABB₁A₁.

Аналогично для грани ADD₁A₁. Вектор AD=(0,a,0). AA₁=(a/2,a/2,H). Векторное произведение m=AD×AA₁=ijk0a0a/2a/2H=i(aH)-j(0)+k(-a²/2)=(aH,0,-a²/2). Модуль |m|=a^2H2+a⁴/4=ab²-a²/4. Площади двух пар боковых граней равны.

Итак, площадь одной боковой грани S_bock=ab²-a²/4. Всего 4 боковые грани. Площадь боковой поверхности S_bok=4ab²-a²/4=4a4b²-a²/2=2a4b²-a².

Площадь двух оснований (квадратов со стороной a): S_osn=2a².

Полная поверхность S_pol=S_osn+S_bok=2a²+2a4b²-a².