ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 300: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для определения вида сечения и вычисления его площади необходимо:

1. Найти точки пересечения плоскости сечения с рёбрами пирамиды, используя свойства средних линий треугольников.
2. Определить геометрическую форму полученного четырёхугольника (параллелограмм, ромб, прямоугольник).
3. Вычислить длины сторон сечения через параметры a и b.
4. Проверить наличие прямых углов для подтверждения типа фигуры и рассчитать площадь.

Ход решения.

Рассмотрим грани пирамиды. Точки E и F — середины рёбер BC и AB соответственно. В основании △ABC отрезок EF является средней линией, поэтому EF¶llelAC и EF= rac12AC= raca2.

Точка P — середина ребра AD. Чтобы замкнуть сечение, найдём четвёртую точку Q на ребре CD. Рассмотрим грань ADC. Если мы проведём плоскость через P, параллельную основанию или имеющую другие свойства, то удобнее использовать векторный метод или свойство параллельности скрещивающихся прямых в правильных многогранниках. Однако, давайте построим сечение последовательно.

Проведём плоскость через точки E,F,P. Так как EF¶llelAC, то линия пересечения этой плоскости с гранью ADC должна быть параллельна AC. Пусть эта линия проходит через P и пересекает CD в точке Q. Тогда PQ — средняя линия △ADC, так как P — середина AD. Следовательно, PQ¶llelAC и PQ= rac12AC= raca2.

Таким образом, в четырёхугольнике EFPQ стороны EF и PQ параллельны (¶llelAC) и равны (raca2). Значит, EFPQ — параллелограмм.

Теперь определим вид этого параллелограмма. Нам нужно найти длину боковой стороны EP (или FQ) и угол между сторонами.

Рассмотрим треугольник DBC. Точки E и Q — середины BC и CD. Отрезок EQ — средняя линия △DBC, поэтому EQ¶llelBD и EQ= rac12BD= racb2.

Аналогично, в треугольнике DAB: F — середина AB, P — середина AD. Отрезок FP — средняя линия △DAB, поэтому FP¶llelBD и FP= rac12BD= racb2.

Итак, стороны сечения равны: EF=PQ= raca2 и FP=EQ= racb2.

Чтобы определить тип параллелограмма, проверим угол между соседними сторонами, например, между EF и FP. Мы знаем, что EF¶llelAC и FP¶llelBD. Следовательно, угол между сторонами сечения равен углу между диагоналями основания AC и боковым ребром BD? Нет, FP¶llelBD (диагональ грани? Нет, BD — это боковое ребро? В условии сказано "боковое ребро равно b". Обычно в правильной треугольной пирамиде все боковые рёбра равны. Но BD — это ребро основания? Нет, основание ABC. Ребра основания AB,BC,CA. Боковые ребра DA,DB,DC.

Перечитаем условие внимательно: "В правильной треугольной пирамиде DABC... сторона основания равна a, а боковое ребро равно b".

Значит, AB=BC=CA=a, а DA=DB=DC=b.

Вернёмся к параллельности:

• EF соединяет середины BC и AB. EF¶llelAC (сторона основания). Длина EF=a/2.
• P — середина AD. Провели PQ¶llelAC в грани ADC. Q — середина CD. Длина PQ=a/2.
• Соединим F и P. F — середина AB, P — середина AD. В △ABD отрезок FP — средняя линия. FP¶llelBD. BD — боковое ребро. Длина FP=b/2.
• Соединим E и Q. E — середина BC, Q — середина CD. В △BCD отрезок EQ — средняя линия. EQ¶llelBD. Длина EQ=b/2.

Сечение — параллелограмм со сторонами a/2 и b/2.

Является ли он прямоугольником? Для этого должно выполняться EF&perpFP. Поскольку EF¶llelAC и FP¶llelBD, то угол между сторонами сечения равен углу между прямой AC и прямой BD.

В правильной треугольной пирамиде противоположные рёбра (скрещивающиеся) взаимно перпендикулярны? Это верно для правильного тетраэдра (a=b). Но здесь a и b могут быть разными.

Давайте проверим скалярное произведение векторов
overrightarrowAC и
overrightarrowBD.

Угол между боковым ребром и стороной основания в правильной пирамиде не обязательно 90^°. Угол при вершине основания в боковой грани обозначим β. Тогда
overrightarrowAC·
overrightarrowAD=|AC|·|AD|cos(
angleCAD)=a·b·
cos(
beta).

Угол между сторонами основания
angleCAB=60^°. Тогда
overrightarrowAC·
overrightarrowAB=a·a·
cos(60^°)=a²/2.

Косинус угла β в боковой грани △ACD (равнобедренной с основанием a и боковыми сторонами b): по теореме косинусов для стороны CD? Нет, нам нужен угол при вершине A в грани ACD? Нет, векторы выходят из одной точки?
overrightarrowAC и
overrightarrowAD исходят из A. Да. В △ACD стороны AC=a,AD=b,CD=b. Угол
angleCAD найдем по теореме косинусов для стороны CD: b²=a²+b²-2ab
cos(
angleCAD)
implies
cos(
angleCAD)=
fraca2b

Подставим в скалярное произведение: AC·
overrightarrowBD=ab·
fraca2b-
fraca²2=
fraca²2-
fraca²2=0

Скалярное произведение равно нулю, значит, векторы
overrightarrowAC и
overrightarrowBD перпендикулярны. Следовательно, стороны сечения EF и FP перпендикулярны.

Параллелограмм с прямым углом — это прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: nS=EF·FP=
fraca2·
fracb2=
fracab4

Ответ.

Сечение представляет собой прямоугольник . Его площадь равна S=
fracab4.