ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 301: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

В правильной треугольной пирамиде DABC все боковые рёбра равны (DA=DB=DC), а основания — равносторонние треугольники. Апофема — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Нам дан двугранный угол при боковом ребре DA, равный 120^°, и расстояние от вершины B до ребра DA, равное 16 см. Это расстояние является высотой треугольника ABD, опущенной на сторону AD. Обозначим апофему как h_a. В боковой грани DAB (равнобедренный треугольник) апофема совпадает с медианой и высотой, проведённой к основанию AB. Однако нам нужно связать данные через геометрию сечения или свойства граней. Рассмотрим треугольник ABD. Пусть BK⊥AD, тогда BK=16 см. Двугранный угол при ребре DA образован плоскостями граней DAB и DAC. Поскольку пирамида правильная, грани симметричны относительно высоты пирамиды. Угол между плоскостями можно найти, рассмотрев перпендикуляры к ребру DA в этих плоскостях. Проведём BK⊥DA в грани DAB и CK⊥DA в грани DAC. Тогда угол ∠BKC равен двугранному углу при ребре DA, то есть 120^°. Треугольник BKC равнобедренный (BK=CK=16). Найдём сторону BC (сторону основания пирамиды) из этого треугольника. Затем, зная сторону основания a=BC и высоту боковой грани (апофему), найдем апофему. Но апофема — это высота грани DAB к стороне AB. В равнобедренном треугольнике DAB с основанием AB=a и боковыми сторонами b=DA, апофема m связана с площадью. Или проще: найдем боковое ребро b и основание a, затем вычислим апофему.

Вычисления.

1. Рассмотрим треугольник BKC. Он равнобедренный с боковыми сторонами BK=CK=16 см и углом при вершине K равным 120^°. Основание BC является стороной правильного треугольного основания пирамиды. По теореме косинусов для △BKC: BC²=BK²+CK²-2·BK·CK·cos(120^°) BC²=16²+16²-2·16·16·(-1/2) BC²=256+256+256=3·256 BC=3·256=163 см . Таким образом, сторона основания пирамиды a=163 см. 2. Теперь рассмотрим боковую грань DAB. Это равнобедренный треугольник с основанием AB=a=163 см и боковым ребром AD=b. Высота этой грани, опущенная на основание AB, и есть искомая апофема m. Также в этом треугольнике известна высота BK, опущенная на боковое ребро AD, которая равна 16 см. Нам нужно найти связь между элементами треугольника DAB. Площадь треугольника DAB можно выразить двумя способами: S_DAB=1/2·AB·m=1/2·AD·BK Отсюда: AB·m=AD·BK 163·m=b·16impliesm=b/3impliesb=m3. 3. Найдем боковое ребро b (или сразу апофему m), используя свойства прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, апофемой и боковым ребром? Нет, лучше использовать саму грань DAB. В треугольнике DAB проведена высота BK к стороне AD. Пусть AK=x. Тогда в прямоугольном треугольнике ABK: AB²=AK²+BK². (163)²=x²+16² 768=x²+256 x²=512impliesx=512=162. Здесь x=AK. Так как K лежит на AD, то AD=b. В прямоугольном треугольнике DBK (так как BK⊥AD): BD²=DK²+BK². Но BD=AD=b. И DK=|AD-AK|=|b-x|. b²=(b-162)²+16² b²=b²-322b+(162)²+256 0=-322b+512+256 322b=768 b=768/322=24/2=122 см . Это длина бокового ребра AD. 4. Теперь найдем апофему m. Мы установили ранее, что m=b/3. m=122/3=122/3=126/3=46 см .

Проверка.

Проверим согласованность данных. Боковое ребро b=122≈16.97. Сторона основания a=163≈27.71. Апофема m=46≈9.80. В боковой грани DAB стороны 122,122,163. Высота к основанию m=b²-(a/2)²=(122)²-(83)²=288-192=96=46. Совпадает. Расстояние от B до AD: площадь грани S=1/2am=1/2·163·46=3218=962. Также S=1/2b·h_b, где h_b — расстояние от B до AD. 962=1/2·122·h_bimplies962=62h_bimpliesh_b=16. Совпадает с условием. Ответ верен.