ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 305: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды нужно вычислить площадь одного бокового треугольника и умножить её на 4. Боковая поверхность состоит из четырёх равных равнобедренных треугольников. Мы знаем высоту пирамиды h и плоский угол при вершине β=β/2 (обозначим половину угла как β/2, где β=β/2). Нам потребуется найти апофему боковой грани или основание треугольника через данные углы и высоту.

Вычисления.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду SABCD с вершиной S. Пусть O — центр основания, тогда SO=h — высота пирамиды. Основание ABCD — квадрат. Проведём апофему SM к стороне основания BC, где M — середина BC. Треугольник SBC — равнобедренный с углом при вершине β. Тогда в прямоугольном треугольнике SBM (где BM — половина стороны квадрата) угол BSM=β/2.

Обозначим сторону основания за a. Тогда BM=a/2. Апофема l=SM. Из прямоугольного треугольника SOM (SOM=90^o):

Так как O — центр квадрата, а M — середина стороны, то OM=a/2. Следовательно:

Теперь рассмотрим боковую грань SBC. Площадь одной грани:

Из прямоугольного треугольника SBM: tan(β/2)=BM/SM=a/2/l, откуда a=2ltan(β/2).

Подставим выражение для a в уравнение связи l и h:

Это путь сложен. Попробуем другой подход через синусы или прямые тригонометрические соотношения в грани.

В треугольнике SBC опустим высоту SM=l. Угол при вершине β. Тогда BM=ltan(β/2), а сторона a=2ltan(β/2).

Вернёмся к треугольнику SOM. OM=BM=ltan(β/2). Высота SO=h. Гипотенуза SM=l.

Отсюда l²=h²/1-tan²(β/2). Это не очень красиво упрощается до ответа ключа. Проверим условие задачи внимательно. Обычно в таких задачах угол β может быть связан иначе или ответ предполагает другую форму.

Давайте выразим площадь боковой поверхности S_бок =4×1/2al=2al.

Мы имеем систему:

1. a=2ltan(β/2)
2. l²=h²+(a/2)²=h²+l²tan²(β/2)

Из второго: l²(1-tan²(β/2))=h²→l=h/1/tan(β/2)?No.

Перепишем: l=h/1/tan(β/2)?. Нет, l=h/1/tan(β/2)?.

Давайте используем косинус. В △SOM: OSM=θ. tanθ=OM/SO=a/2/h. Также в △SBM: tan(β/2)=a/2/l.

Заметим, что a/2=htanθ=ltan(β/2). Отсюда l=htanθ/tan(β/2).

Также l=h/cosθ.

Попробуем вывести ответ 2h²tanβ напрямую, возможно, я ошибся в интерпретации «плоского угла». Если плоский угол при вершине равен β, то это угол между двумя соседними боковыми рёбрами, например ASB=β.

Пусть боковое ребро равно b. В △ASB: a=2btan(β/2).

В △AOB (половина основания): AO=a/sqrt2.

В △SOA: b²=h²+AO²=h²+a²/2.

Подставим a: b²=h²+4b²tan²(β/2)/2=h²+2b²tan²(β/2).

Это тоже сложно. Давайте проверим частный случай. Если β=90^o, то tanβ не определён. Значит, формула 2h²tanβ верна только если β<90^o? Или, возможно, в условии опечатка и имеется в виду двугранный угол? Нет, сказано «плоский угол».

Решение по ключу предполагает, что результат должен быть 2h²tanβ. Давайте посмотрим, при каком угле получается такая зависимость.

Если мы возьмём площадь проекции боковой грани на основание... нет.

Давайте попробуем другой геометрический смысл. Возможно, β — это угол наклона бокового ребра к высоте? Нет, «плоский угол при вершине» — стандартное определение угла между рёбрами.

Проверим размерность. h² — площадь. tanβ — безразмерная величина. Всё сходится.

Выведем корректно.

Площадь боковой поверхности S_бок =2al.

Из △SOM: l²=h²+a²/4→a²=4(l²-h²).

Из △SBM: tan(β/2)=a/2/l→a=2ltan(β/2).

Подставляем a в первое:

Тогда S_бок =2al=2(2ltan(β/2))l=4l²tan(β/2).

Вспомним формулу тангенса двойного угла: tanβ=2tan(β/2)/1-tan²(β/2).

Сравниваем наше выражение с формулой:

Таким образом, формула подтверждается.

Ответ.

Площадь боковой поверхности равна 2h²tanβ.