ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 307: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения:

• Для пункта а) определим форму сечения. Плоскость проходит через диагональ BD основания и параллельна боковому ребру MA. Это означает, что в грани MAB и MAD линии пересечения будут параллельны MA. Сечение представляет собой треугольник или четырехугольник? Так как плоскость параллельна прямой MA, она не пересекает её. Вершина M лежит вне плоскости. Основание — квадрат ABCD. Диагональ BD делит квадрат на два треугольника. Проведем анализ положения секущей плоскости относительно вершины C.
• Для пункта б) используем свойства симметрии правильной пирамиды или метод объемов для доказательства равноудаленности точек от плоскости.

Вычисление площади сечения (пункт а):

Пусть O — центр основания ABCD. В правильной пирамиде высота MO перпендикулярна основанию. Рассмотрим плоскость β, проходящую через высоту MO и диагональ AC. Эта плоскость перпендикулярна диагонали BD (так как AC⊥BD в квадрате).

Секущая плоскость β проходит через BD и параллельна MA. Пусть она пересекает грань MAC по прямой l. Поскольку β∥MA, то прямая l в плоскости MAC должна быть параллельна MA. Однако, более простой подход: найдем координаты или геометрические параметры сечения.

Сечение проходит через BD. Пусть оно пересекает ребро MC в точке K? Нет, плоскость параллельна MA. Проверим пересечение с другими ребрами. Если провести плоскость через BD, параллельную MA, то она будет пересекать плоскость грани MBC и MDC. Но так как MA не лежит в этих гранях, нужно аккуратно определить контур.

Рассмотрим треугольник MBD. Он является частью пирамиды. Высота пирамиды H=MO. В △MAC: MA=b, AO=a2/2. Тогда H=b²-AO²=b²-a²/2.

Плоскость β проходит через BD и параллельна MA. Расстояние от точки A до плоскости β равно расстоянию от прямой MA до плоскости, если бы они были параллельны... нет, MA параллельна плоскости. Значит, расстояние от любой точки прямой MA до плоскости постоянно. В частности, расстояние от M до β равно расстояну от A до β.

Найдем площадь сечения. Сечением является треугольник BDK, где K — точка пересечения плоскости с ребром MC? Или это четырехугольник?
Так как плоскость параллельна MA, она не может пересекать ребра MA. Она проходит через BD. Пересечет ли она ребра MB и MD? Нет, B и D уже лежат в плоскости. Ребра MB и MD выходят из M.
Давайте спроецируем на плоскость MAC. BD⊥AC. Пусть P — середина BD (она же O). Плоскость β содержит прямую BD и параллельна MA. В плоскости MAC проведем через точку O прямую, параллельную MA. Она пересечет MC в некоторой точке K. Тогда сечением пирамиды является треугольник BDK.

Треугольник BDK равнобедренный (KB=KD), так как KO — медиана и высота к BD (из симметрии). Площадь S_BDK=1/2·BD·KO.

BD=a2.

Найдем длину KO. Рассмотрим △MAC. O — середина AC. Прямая OK∥AM. По теореме о средней линии (или подобии треугольников △COK∼△CAM):
Так как O — середина AC, то CO/CA=1/2. Следовательно, K — середина CM, и KO=1/2AM=b/2.

Тогда площадь сечения:
S=1/2·BD·KO=1/2·(a2)·b/2=ab2/4

Доказательство равноудаленности (пункт б):

Нужно доказать, что расстояния от точек M и C до плоскости β равны.
Мы выяснили, что сечение — это △BDK, где K — середина ребра MC.

Рассмотрим отрезок MC. Точка K лежит на этом отрезке и принадлежит плоскости β.
Если мы докажем, что K является серединой отрезка MC, то это еще не гарантирует равноудаленность концов отрезка от плоскости, проходящей через середину, только если плоскость перпендикулярна этому отрезку или имеет другую специфическую ориентацию. Однако, есть более общий факт: если плоскость проходит через середину отрезка, то расстояния от концов отрезка до плоскости равны тогда и только тогда, когда проекции отрезка на нормаль к плоскости симметричны относительно нуля... проще говоря, вектор MK равен вектору KC по модулю и направлению противоположен. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра.
Пусть h_M и h_C — расстояния от M и C до β.
Так как K∈β, то K лежит на плоскости.
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные перпендикулярами из M и C на плоскость β и отрезками MK и CK.
Углы при вершине K вертикальные (если рассматривать сечение плоскостью, перпендикулярной β и содержащей MC).
Так как MK=KC (мы доказали, что K — середина MC, так как OK — средняя линия △AMC), то треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
Следовательно, h_M=h_C.

Проверка логики: OK∥AM. В △AMC точка O — середина AC. Значит, прямая, проходящая через O параллельно стороне AM, пересекает вторую сторону MC в его середине. То есть K — середина MC.
Плоскость β проходит через точку K.
Расстояние от точки до плоскости пропорционально длине отрезка, соединяющего точку с точкой пересечения прямой с плоскостью, умноженной на синус угла между прямой и плоскостью.
Так как M,K,C лежат на одной прямой, угол наклона этой прямой к плоскости β одинаков для отрезков MK и KC.
Длины отрезков MK и KC равны.
Значит, расстояния от M и C до плоскости β равны.