ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 309: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

1. Определим геометрическое место вершины пирамиды и проекцию высоты на основание. Так как боковые рёбра равны, высота опускается в центр описанной окружности основания (прямоугольника), то есть в точку пересечения диагоналей. 2. Выберем систему координат или используем подобие треугольников для нахождения линейных размеров сечения. 3. Сечение проходит через меньшую сторону прямоугольника (длиной 6 дм) и середину высоты пирамиды. Нам нужно найти площадь этого треугольного сечения.

Вычисление.

Пусть ABCD — основание пирамиды, где AB=CD=6 дм (меньшая сторона), а BC=AD=8 дм (большая сторона). Пусть S — вершина пирамиды, H — центр основания (точка пересечения диагоналей), SH — высота, SH=6 дм.

Сечение проведено через сторону AB и середину высоты M. Точка M лежит на отрезке SH, причём SM=MH=6/2=3 дм.

Рассмотрим плоскость сечения. Она пересекает грань SAB по линии, соединяющей A и B с точкой M? Нет, сечение — это многоугольник, образованный пересечением плоскости с телом пирамиды. Плоскость проходит через прямую AB и точку M. Поскольку M лежит внутри пирамиды (на высоте), сечением является треугольник ABK, где K — точка пересечения прямой AM (или плоскости) с противоположной гранью или ребром? Давайте уточним геометрию.

Плоскость сечения содержит сторону AB и точку M. Проведём в основании перпендикуляр из середины стороны AB к центру H. Пусть N — середина AB. Тогда NH — средняя линия треугольника ABC (если смотреть на половину прямоугольника) или просто половина большей стороны. Расстояние от центра H до стороны AB равно половине другой стороны: NH=8/2=4 дм.

Рассмотрим вертикальное сечение пирамиды, проходящее через высоту SH и середину стороны AB (точку N). Это сечение представляет собой треугольник SNH (часть грани или внутреннее сечение?). На самом деле, рассмотрим плоскость, проходящую через SH и перпендикулярную AB. В этой плоскости лежат точки S,H,N и точка M (так как M на SH).

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через AB и M, будет треугольником. Основанием этого треугольника служит отрезок AB=6 дм. Высота этого треугольника опущена из вершины M на сторону AB? Нет, M не обязательно проектируется на AB под прямым углом в пространстве так, чтобы высота треугольника сечения была проста. Давай найдём координаты.

Введём координаты: H(0;0;0). Ось Oz вдоль высоты HS. S(0;0;6). M(0;0;3). Основание в плоскости xy. Сторона AB параллельна оси x? Пусть AB лежит на прямой y=-4 (так как расстояние от центра до стороны 4 дм). Координаты A(-3;-4;0), B(3;-4;0). Длина AB=6. Проверка: (3-(-3))²+(-4-(-4))²=6. Верно. Точки C(3;4;0), D(-3;4;0). Расстояние до сторон BC и AD равно 3 дм (половина меньшей стороны). Но у нас стороны 6 и 8. Если AB=6, то полуширина по x равна 3. Полувысота по y равна 4. Всё верно.

Плоскость сечения проходит через точки A(-3;-4;0), B(3;-4;0) и M(0;0;3). Уравнение плоскости, проходящей через A,B,M. Вектор AB=(6;0;0). Вектор AM=(3;4;3). Нормаль n=[AB,AM]=ijk600343=i(0)-j(18)+k(24)=(0;-18;24). Упростим нормаль: (0;-3;4). Уравнение плоскости: 0(x+3)-3(y+4)+4(z-0)=0⇒-3y-12+4z=0⇒4z-3y=12.

Найдём третью вершину сечения. Сечение ограничено поверхностью пирамиды. Оно проходит через AB. Пересекает ли оно другие рёбра? Пирамида имеет рёбра SC,SD. Проверим пересечение плоскости с рёбрами SC и SD. Координаты C(3;4;0), S(0;0;6). Уравнение прямой SC: x=3t,y=4t,z=6(1-t), где t∈[0;1] (t=0 в S, t=1 в C). Подставим в уравнение плоскости: 4(6(1-t))-3(4t)=12 24-24t-12t=12 24-36t=12 36t=12⇒t=1/3. Так как 0<1/3<1, точка пересечения P лежит на ребре SC. Координаты P: x_P=3(1/3)=1, y_P=4(1/3)=4/3, z_P=6(1-1/3)=4. Аналогично для ребра SD: симметрия относительно плоскости yz (или x=0)? Нет, ось симметрии SH совпадает с осью z. Прямоугольник симметричен относительно осей x и y. Точка D(-3;4;0). Прямая SD: x=-3t,y=4t,z=6(1-t). Подстановка даст те же y,z, но x=-1. Точка Q(-1;4/3;4). Сечение — трапеция ABQP? Или треугольник? Проверим, проходят ли точки P и Q через одну линию с M? Нет, M лежит на плоскости, но является внутренней точкой сечения? Нет, условие говорит «через ... середину высоты». Это значит, что плоскость сечения проходит через эту точку. Фигура сечения — это многоугольник, являющийся пересечением плоскости и пирамиды. Вершины сечения: A,B,P,Q. Это трапеция, так как AB∥PQ (обе горизонтальны? Нет. AB параллельна оси x. PQ соединяет (-1,4/3,4) и (1,4/3,4). Вектор PQ=(2;0;0). Да, PQ∥AB).

Основания трапеции: a=AB=6 дм. b=PQ=(1-(-1))²+0+0=2 дм. Высота трапеции h_tr — расстояние между параллельными прямыми AB и PQ в плоскости сечения. Найдём длину боковой стороны AP или спроектируем на плоскость yz. Проекция AB на плоскость yz — точка N′(0;-4;0)? Нет, вся сторона AB проецируется в точку с координатами y=-4,z=0 (если смотреть вдоль оси x). Проекция PQ — точка с координатами y=4/3,z=4. Расстояние между этими проекциями в плоскости yz: Δy=4/3-(-4)=4/3+12/3=16/3. Δz=4-0=4. Длина отрезка в плоскости yz: d=(16/3)²+4²=256/9+16=256+144/9=400/9=20/3. Так как векторы AB и PQ перпендикулярны плоскости yz (параллельны оси x), то истинная высота трапеции равна этому расстоянию d=20/3 дм.

Площадь трапеции: S_сеч =a+b/2·h_tr=6+2/2·20/3=4·20/3=80/3 дм² .

Проверка.

Логика построения верна: сечение проходит через сторону основания и точку на высоте, пересекая боковые рёбра. Полученная фигура — трапеция. Расчёты координат и расстояний выполнены без ошибок. Результат совпадает с ключом.