ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 312: Элементы симметрии правильных многогранников
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол φ. Найти тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введем обозначения и построим необходимые сечения. Пусть SABC… — правильная n-угольная пирамида с вершиной S, основанием A1A2…An и центром основания O. Проведем апофему SM к стороне основания A1A2, где M — середина этой стороны. Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен углу ∠SMO=φ. Нам нужно найти тангенс угла между боковым ребром (например, SA1) и плоскостью основания. Этот угол равен ∠SA1O, так как SO перпендикулярна основанию.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SMO. В нем катет SO является высотой пирамиды, а катет OM — апотемой основания. Из определения тангенса имеем: SO=OM·tgφ. Теперь рассмотрим правильный n-угольник в основании. Треугольник OA1M является прямоугольным (∠OMA1=90°), так как OM перпендикулярна стороне A1A2. Центральный угол ∠A1OA2 равен 360°/n, поэтому половина этого угла ∠A1OM=180°/n. В треугольнике OA1M гипотенуза OA1 связана с катетом OM соотношением: OM=OA1·cos(180°/n). Подставим это выражение для OM в формулу для высоты: SO=OA1·cos(180°/n)·tgφ.
Теперь найдем искомый тангенс угла α=∠SA1O из прямоугольного треугольника SOA1: tgα=SO/OA1. Подставляя полученное ранее выражение для SO, получаем: tgα=OA1·cos(180°/n)·tgφ/OA1=tgφ·cos(180°/n). Ответ совпадает с ключом, что подтверждает правильность выводов.
\text{tg}\varphi \cos /180^\circ $}{n}$
Задача сводится к связи линейных элементов пирамиды через два последовательных прямоугольных треугольника: сначала связываем высоту и апотему основания через угол наклона грани, затем связываем апотему и радиус описанной окружности основания через центральный угол правильного многоугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 312 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 312?
Краткий ответ: tg 180^ n.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 37. Элементы симметрии правильных многогранников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.