ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 315: Элементы симметрии правильных многогранников
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства:
- Введём прямоугольную систему координат с началом в центре правильного октаэдра.
- Запишем координаты вершин октаэдра, используя его симметрию относительно осей координат.
- Найдём координаты центров всех восьми граней октаэдра.
- Покажем, что полученные точки являются вершинами куба, проверив равенство длин рёбер и прямизну углов (или просто сопоставив их с каноническими координатами вершин куба).
Вычисление:
Пусть правильный октаэдр имеет ребро a. Расположим его так, чтобы его вершины лежали на осях координат. Тогда координаты шести вершин октаэдра будут:
A1(a/2,0,0), A2(-a/2,0,0) B1(0,a/2,0), B2(0,-a/2,0) C1(0,0,a/2), C2(0,0,-a/2)Рассмотрим одну из граней, например, треугольник A1B1C1. Центр грани (центроид) находится как среднее арифметическое координат её вершин:
M1=(a/2+0+0/3,0+a/2+0/3,0+0+a/2/3)=(a/32,a/32,a/32)Аналогично находим центры остальных семи граней. Знаки координат меняются в зависимости от того, какие вершины образуют грань. Например, для грани A1B1C2 центр будет:
M2=(a/32,a/32,-a/32)Всего мы получаем 8 точек вида (±k,±k,±k), где k=a/32. Эти точки являются вершинами куба со стороной 2k, расположенного с центром в начале координат и рёбрами, параллельными осям координат.
Проверка:
Действительно, расстояние между двумя соседними точками, например M1(k,k,k) и M2(k,k,-k), равно:
d=(k-k)2+(k-k)2+(k-(-k))2=0+0+(2k)2=2kВсе 8 точек имеют одинаковую модульную координату по каждой оси, что соответствует геометрии куба, вписанного в сферу радиуса Rcube=k3. Таким образом, центры граней октаэдра образуют вершины куба.
Центры граней октаэдра имеют координаты вида (±k,±k,±k), что является множеством вершин куба.
Использован метод координат. Октаэдр ориентирован так, что вершины на осях. Центры граней вычисляются через формулу центра масс треугольника. Полученные 8 точек совпадают с вершинами куба.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 315 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 315?
Краткий ответ: Центры граней октаэдра имеют координаты вида (± k, ± k, ± k), что является множеством вершин куба.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 37. Элементы симметрии правильных многогранников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.