ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 316: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Для доказательства того, что центры граней правильного тетраэдра образуют другой правильный тетраэдр, необходимо выполнить два основных шага:

1. Установить равенство всех ребер нового тетраэдра (доказать, что он является правильным).
2. Показать, что все грани нового тетраэдра являются равносторонними треугольниками (что следует из первого пункта для тетраэдра).

Мы воспользуемся методом векторов или координат, либо геометрическими свойствами средних линий. Рассмотрим тетраэдр ABCD с ребром a. Обозначим центры его граней как O_1,O_2,O_3,O₄, где O₁ — центр грани BCD, O₂ — центр грани ACD, O₃ — центр грани ABD, O₄ — центр грани ABC.

Вычисление и доказательство.

Вспомним свойство медиан в треугольнике: центроид (центр тяжести) делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Также известно, что расстояние между центрами двух граней тетраэдра связано с длиной общего ребра этих граней.

Рассмотрим две смежные грани, например, ABC и ABD. Их общие элементы — ребро AB. Пусть M — середина ребра AB. Тогда CM и DM — медианы соответствующих равносторонних треугольников ABC и ABD.

Центр грани ABC (O₄) лежит на медиане CM так, что CO₄=2/3CM. Центр грани ABD (O₃) лежит на медиане DM так, что DO₃=2/3DM.

Так как грани ABC и ABD равны (правильный тетраэдр), то их медианы равны: CM=DM. Следовательно, CO₄=DO₃.

Рассмотрим треугольник CMD. В нем точки O₄ и O₃ лежат на сторонах CM и DM соответственно. Отношения отрезков:

Из этого следует, что треугольники MO₄O₃ и MCD подобны с коэффициентом подобия k=1/3.

Значит, длина отрезка O₃O₄ равна:

Так как CD — это ребро исходного тетраэдра, равное a, то:

Аналогичные рассуждения применимы к любой паре смежных граней. Например, для граней ABC и ACD (общее ребро AC) расстояние между их центрами O₄ и O₂ будет равно трети длины ребра BD, которое не входит в эти грани? Нет, давайте проверим геометрию точнее.

Давайте используем более общий подход через векторы или симметрию. Расстояние между центрами любых двух граней правильного тетраэдра одинаково в силу симметрии фигуры. Если мы докажем, что одно такое расстояние равно x, то все остальные будут равны x.

Вернемся к вычислению O₃O₄. Мы нашли, что O₃O₄=a/3. Проверим другую пару, например, O₁ (центр BCD) и O₂ (центр ACD). Они имеют общее ребро CD. Аналогично предыдущему случаю, если взять середину N ребра CD, то BN и AN — медианы. Центры O₁ и O₂ делят эти медианы в отношении 1:3 от основания (или 2:1 от вершины). Треугольник ABN содержит точки O₂ и O₁ на сторонах AN и BN. Подобие дает O₁O₂=1/3AB=a/3.

Таким образом, все ребра нового тетраэдра O₁O₂O₃O₄ равны a/3.

Проверка и вывод.

Тетраэдр, у которого все шесть ребер равны, по определению является правильным. Так как мы установили, что расстояния между любыми двумя центрами граней исходного тетраэдра равны a/3, то новый тетраэдр имеет все ребра одинаковой длины.

Следовательно, тетраэдр, построенный на центрах граней правильного тетраэдра, сам является правильным тетраэдром.

Дополнительно можно отметить, что этот новый тетраэдр ориентирован «вверх ногами» относительно исходного (его вершины направлены к центрам граней исходного, а грани параллельны граням исходного, но смещены внутрь).