ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 317: Элементы симметрии правильных многогранников
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать, что центры граней куба образуют правильный октаэдр, необходимо проверить два условия:
- Все грани полученного многогранника являются равносторонними треугольниками (то есть все его ребра равны).
- Многогранник является выпуклым и симметричным относительно центра куба (что следует из симметрии самого куба).
Будем считать, что длина ребра куба равна a. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат (0;0;0), а грани были параллельны координатным плоскостям. Тогда координаты вершин куба будут иметь вид (±a/2;±a/2;±a/2).
Вычисление длин ребер нового многогранника.
Центры граней куба лежат на осях координат. Найдем их координаты:
- Центр грани, перпендикулярной оси Ox (правая): A1(a/2;0;0).
- Центр грани, перпендикулярной оси Oy (передняя): B1(0;a/2;0).
- Центр грани, перпендикулярной оси Oz (верхняя): C1(0;0;a/2).
- Аналогично для противоположных граней: A2(-a/2;0;0), B2(0;-a/2;0), C2(0;0;-a/2).
Рассмотрим треугольник, образованный центрами трех смежных граней, например, A1, B1 и C1. Вычислим длины его сторон (которые станут ребрами искомого многогранника), используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
|A1B1|=(a/2-0)2+(0-a/2)2+(0-0)2=a2/4+a2/4=a2/2=a/2 |B1C1|=(0-0)2+(a/2-0)2+(0-a/2)2=a2/4+a2/4=a/2 |C1A1|=(0-a/2)2+(0-0)2+(a/2-0)2=a2/4+a2/4=a/2Таким образом, треугольник A1B1C1 — равносторонний со стороной a/2. В силу симметрии куба аналогичные треугольники образуются и на других углах (например, A1B1C2, A2B1C1 и т.д.). Все 8 граней полученного многогранника — равносторонние треугольники одинакового размера.
Проверка и вывод.
Мы получили многогранник, у которого:
- 6 вершин (центры граней куба).
- 12 ребер (все равны a/2).
- 8 граней (все равносторонние треугольники).
По определению, правильный октаэдр — это правильный многогранник, гранями которого являются правильные треугольники. Так как все грани нашего многогранника равны и являются правильными треугольниками, а сам он обладает полной симметрией куба (группа симметрии Oh), то этот многогранник является правильным октаэдром.
Следовательно, центры граней куба действительно являются вершинами правильного октаэдра.
Доказано: все ребра равны a/2, грани — равносторонние треугольники.
В решении использован метод координат для строгого вычисления длин ребер. Показано, что расстояние между центрами смежных граней куба постоянно и образует равносторонние треугольники, что соответствует определению правильного октаэдра.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 317 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 317?
Краткий ответ: Доказано: все ребра равны a√2, грани — равносторонние треугольники.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 37. Элементы симметрии правильных многогранников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.