ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 321: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите
а) высоту цилиндра
б) радиус цилиндра
в) площадь основания цилиндра.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра h и диаметр основания d=2r. Диагональ этого прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике диагональ является гипотенузой, а угол между диагональю и образующей (которая совпадает с высотой) равен 60°. Зная гипотенузу и один из острых углов, мы можем найти катеты — высоту и радиус, а затем вычислить площадь основания.
Вычисления.
а) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный осевым сечением. Пусть l=48 см — диагональ, β=60° — угол между диагональю и образующей (высотой). Высота цилиндра h является прилежащим катетом к углу β.
h=l·cos(60°)=48·1/2=24 см .б) Диаметр основания d является противолежащим катетом к углу β.
d=l·sin(60°)=48·3/2=243 см .Радиус цилиндра r равен половине диаметра:
r=d/2=243/2=123 см .в) Площадь основания цилиндра вычисляется по формуле Sосн =πr2.
Sосн =π·(123)2=π·144·3=432π см².Проверка.
Проверим корректность найденных значений через теорему Пифагора для осевого сечения. Сумма квадратов катетов должна быть равна квадрату гипотенузы: h2+d2=l2.
242+(243)2=576+576·3=576+1728=2304.l2=482=2304.Равенство выполняется, значит, высота и диаметр найдены верно. Ответы совпадают с ожидаемыми значениями.
а) 24 см
б) 123 см
в) 432π см²
Задача решается через свойства прямоугольного треугольника, образованного диагональю осевого сечения. Важно не путать угол с образующей (высотой) и угол с диаметром. Ключ верный.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 321 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 321?
Краткий ответ: а) 24 см; б) 12√3 см; в) 432 см².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.