ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 323: Объём шара и площадь сферы

План решения. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра h, а другая — диаметру основания 2r. Площадь такого сечения вычисляется по формуле S=h·2r=2rh. Нам дано, что площади осевых сечений двух цилиндров равны. Нужно проверить, следует ли из этого равенство их высот.

Вычисление и рассуждение. Пусть для первого цилиндра высота равна h₁, радиус основания r₁, а для второго — h₂ и r₂. По условию задачи площади их осевых сечений равны: 2r₁h₁=2r₂h₂ Сократив обе части на 2, получаем соотношение: r₁h₁=r₂h₂ Из этого уравнения видно, что произведение радиуса на высоту постоянно, но сами множители (r и h) могут меняться обратно пропорционально друг другу. Например, если у первого цилиндра радиус r₁=1 см и высота h₁=4 см, то площадь сечения равна 8 см². Для второго цилиндра мы можем выбрать радиус r₂=2 см. Чтобы площади совпали, его высота должна быть h₂=2 см (так как 2·2=4, а в формуле площади 2rh: 2·2·2=8). В этом примере h₁≠h₂ (4≠2), хотя площади сечений равны.

Проверка и вывод. Мы привели конкретный контрпример, показывающий, что при равных площадях осевых сечений высоты цилиндров могут быть различными. Равенство площадей накладывает ограничение только на произведение радиуса на высоту, а не на каждую величину отдельно. Следовательно, утверждение о том, что высоты обязательно равны, является неверным.