ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 319: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения.

Чтобы определить количество плоскостей симметрии правильного тетраэдра, проходящих через данную вершину, вспомним структуру этого многогранника. Правильный тетраэдр состоит из четырёх равносторонних треугольников. Каждая вершина является общей для трёх граней и соединена рёбрами с тремя другими вершинами. Плоскость симметрии в правильном тетраэдре всегда проходит через ребро и середину противоположного ребра (или через вершину и медиану противолежащей грани). Нам нужно найти все такие плоскости, которые содержат выбранную нами вершину A.

Вычисление и анализ.

Пусть дан правильный тетраэдр ABCD. Рассмотрим вершину A. Из этой вершины исходят три ребра: AB, AC и AD. Противоположной к вершине A является грань BCD.

• Рассмотрим плоскость, проходящую через ребро AB и середину ребра CD. Эта плоскость содержит вершину A и является плоскостью симметрии тетраэдра, так как она делит тетраэдр на две зеркально равные части (отображает C в D и наоборот).
• Аналогично, рассмотрим плоскость, проходящую через ребро AC и середину ребра BD. Она также содержит вершину A и является плоскостью симметрии.
• Третья плоскость проходит через ребро AD и середину ребра BC. Она тоже содержит вершину A и обеспечивает симметрию.

Других плоскостей симметрии, проходящих именно через вершину A, не существует. Любая другая плоскость симметрии тетраэдра проходит через середины двух скрещивающихся рёбер и не содержит ни одной вершины.

Проверка.

Всего у правильного тетраэдра 6 плоскостей симметрии. По условию задачи нас интересуют только те, что проходят через одну конкретную вершину. Мы нашли три таких плоскости, каждая из которых соответствует одному из трёх рёбер, исходящих из данной вершины. Поскольку из каждой вершины выходит ровно 3 ребра, то и плоскостей симметрии, проходящих через эту вершину, должно быть ровно 3. Это согласуется с геометрической структурой тетраэдра.