ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 318: Элементы симметрии правильных многогранников

План решения. Для доказательства равенства суммы двугранных углов 180^° необходимо вычислить величину каждого угла отдельно. Двугранный угол правильного многогранника можно найти через его плоский угол или используя формулы для косинуса двугранного угла. Мы воспользуемся известными значениями косинусов двугранных углов тетраэдра и октаэдра, а затем проверим их сумму через тригонометрические тождества или геометрическую интерпретацию.

Вычисление.

1. Рассмотрим правильный тетраэдр. Пусть ребро равно a. Высота грани (треугольника) равна h=a3/2. Центр грани делит высоту в отношении 2:1, поэтому расстояние от центра грани до стороны составляет r=1/3h=a3/6. Расстояние от центра тетраэдра до грани (апофема тетраэдра) находится из прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной половине высоты тетраэдра, но проще использовать формулу для косинуса двугранного угла α: cosα=1/3. Отсюда следует, что α=arccos(1/3).
2. Рассмотрим правильный октаэдр. Его двугранный угол β имеет косинус: cosβ=-1/3. Это значение можно получить, рассмотрев координаты вершин октаэдра (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1) и найдя нормальные векторы к смежным граням. Например, для граней, проходящих через точки (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) и (1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1), нормали будут n₁=(1,1,1) и n₂=(1,-1,1). Скалярное произведение n₁·n₂=1-1+1=1, длины нормалей |n|=3. Косинус угла между нормалями равен 1/3, но так как двугранный угол измеряется внутри многогранника, он является дополнительным к углу между внешними нормалями или напрямую связан со знаком. В стандартных справочниках для октаэдра cosβ=-1/3.
3. Нам нужно доказать, что α+β=180^°. Это эквивалентно тому, что β=180^°-α. Возьмем косинус от обеих частей: cosβ=cos(180^°-α)=-cosα.
4. Подставим найденные значения: слева cosβ=-1/3, справа -cosα=-1/3. Равенство верно.

Проверка.

Так как функции арккосинуса на промежутке (0,π) являются взаимно однозначными, равенство косинусов cosβ=-cosα при условии, что оба угла лежат в диапазоне (0,π), гарантирует, что β=π-α. Следовательно, сумма углов α+β=π, то есть 180^°. Геометрически это также подтверждается тем, что тетраэдр и октаэдр дуальны друг другу в определённом смысле симметрий, и их двугранные углы дополняют друг друга до развернутого угла.