ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 327: Объём шара и площадь сферы

План доказательства.

Для того чтобы доказать утверждение, необходимо рассмотреть геометрическое положение секущей плоскости относительно цилиндра. Мы будем опираться на определение цилиндра как тела, образованного движением отрезка (образующей), параллельного оси, вдоль окружности основания. Ключевым моментом является анализ пересечения этой плоскости с боковой поверхностью и основаниями цилиндра.

Ход вычисления и рассуждений.

1. Пусть дан цилиндр с осью OO₁ и радиусом основания R. Секущая плоскость β параллельна оси OO₁. По условию расстояние от оси до плоскости равно d, где d<R. 2. Так как плоскость β параллельна оси цилиндра, она не пересекает ось. Поскольку расстояние от оси до плоскости меньше радиуса (d<R), плоскость пересекает оба основания цилиндра по хордам. 3. Рассмотрим пересечение плоскости β с боковой поверхностью цилиндра. Любая точка боковой поверхности лежит на образующей, которая параллельна оси. Так как плоскость β параллельна оси, то она параллельна всем образующим цилиндра. 4. Плоскость, параллельная прямой (в данном случае образующей), пересекает поверхность, содержащую эту прямую, по линиям, параллельным этой прямой. Следовательно, линии пересечения плоскости β с боковой поверхностью являются двумя прямыми, параллельными оси цилиндра. Эти прямые лежат на боковой поверхности и ограничены основаниями, значит, они являются образующими цилиндра. Обозначим их AA₁ и BB₁, где A,B — точки на нижнем основании, а A_1,B₁ — соответствующие точки на верхнем основании. 5. Теперь рассмотрим стороны сечения, лежащие в плоскостях оснований. Отрезок AB — это хорда окружности нижнего основания, отсекаемая плоскостью β. Аналогично, отрезок A₁B₁ — хорда верхнего основания. 6. Поскольку основания цилиндра параллельны друг другу, а секущая плоскость β параллельна оси (и, следовательно, перпендикулярна плоскостям оснований только в частном случае, но здесь важно другое: проекция сечения на основание совпадает с хордой), то отрезки AB и A₁B₁ равны и параллельны. Более строго: так как AA₁ и BB₁ — образующие, они параллельны и равны (AA₁∥BB₁ и AA₁=BB₁=h, где h — высота цилиндра). Четырехугольник ABB₁A₁ имеет пару противоположных сторон AA₁ и BB₁, которые равны и параллельны. Следовательно, ABB₁A₁ — параллелограмм. 7. Докажем, что этот параллелограмм является прямоугольником. Образующая цилиндра перпендикулярна плоскости основания (по определению прямого кругового цилиндра, который обычно подразумевается в школьном курсе геометрии без дополнительных оговорок о наклонных цилиндрах, либо если речь идет об общем цилиндре, то нужно уточнить тип. В стандартной программе 10-11 классов под «цилиндром» чаще всего понимают прямой круговой цилиндр). Если цилиндр прямой, то образующая AA₁ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через точку A. Хорда AB лежит в плоскости основания. Значит, угол ∠A₁AB=90^°. 8. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Таким образом, сечением является прямоугольник ABB₁A₁, две стороны которого (AA₁ и BB₁) являются образующими цилиндра.

Проверка результата.

Если бы расстояние d было равно радиусу R, плоскость касалась бы боковой поверхности по одной образующей, и сечения не было бы (или оно вырождалось в линию). Если бы d>R, плоскость не пересекала бы цилиндр. При d<R мы получаем замкнутый контур. Логика построения подтверждает, что при параллельности оси и наличии двух точек пересечения с основанием, границы сечения на боковой поверхности обязательно будут параллельны оси, то есть быть образующими, а связь между ними через основания дает прямоугольную форму для прямого цилиндра.