ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 331: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Рассмотрим цилиндр с радиусом основания R и высотой H. Образующая AA₁ является общей стороной обоих сечений. Одна из секущих плоскостей проходит через ось цилиндра, значит, это осевое сечение — прямоугольник со сторонами 2R и H. Вторая плоскость образует с первой угол φ. Нам нужно найти площадь второго сечения (прямоугольника, одна сторона которого AA₁=H, а другая — хорда основания) и вычислить отношение площадей.

Вычисления.

1. Площадь осевого сечения (S₁):
S₁=AA₁·A₁A_оси =H·2R=2RH

2. Рассмотрим второе сечение. Оно представляет собой прямоугольник AA₁B₁B, где AB — хорда окружности основания. Угол между плоскостями сечений равен углу между их линиями пересечения с плоскостью основания. Линией пересечения первого сечения с основанием является диаметр AC (где C — точка на окружности, противоположная A), а второго — хорда AB. Таким образом, угол φ — это угол ΔABC при вершине A? Нет, точнее: угол между плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла. Проведем в основании перпендикуляр к линии пересечения плоскостей? Проще рассмотреть проекцию.
Пусть O — центр основания. Плоскость осевого сечения содержит диаметр AD. Вторая плоскость содержит хорду AB. Угол между плоскостями равен φ.
В треугольнике ABD (вписанном в окружность, AD — диаметр) угол ΔABD=90^°.
Однако угол между плоскостями не равен углу ΔDAB напрямую, если мы не знаем ориентацию. Но так как первая плоскость проходит через ось, она перпендикулярна основанию. Вторая плоскость также перпендикулярна основанию (так как содержит вертикальную образующую). Значит, угол между плоскостями равен углу между их следами на плоскости основания.
След первой плоскости — диаметр AD. След второй плоскости — хорда AB. Угол между ними равен φ. То есть ΔDAB=φ.

Найдем длину хорды AB. В прямоугольном треугольнике ABD (угол B=90^°, так как опирается на диаметр AD):
AB=AD·Δ(φ)=2R·Δ(φ)

Площадь второго сечения (S₂):
S₂=AA₁·AB=H·2R·Δ(φ)=2RH·Δ(φ)

3. Найдем отношение площадей:
S₁/S₂=2RH/2RH·Δ(φ)=1/Δ(φ)

Проверка.

Если φ=0, то плоскости совпадают, отношение должно быть 1. 1/Δ(0)=1. Верно.
Если φ стремится к 90^°, то хорда AB стремится к нулю (касательная?), нет, если угол между диаметром и хордой 90^°, то хорда вырождается в точку A? Нет, если угол между следом-диаметром и следом-хордой равен 90^°, то хорда перпендикулярна диаметру в точке A? Это невозможно для хорды, начинающейся в A, кроме случая касательной. Но секущая плоскость всегда дает хорду. При φ→90^°, Δ(φ)→0, площадь S₂→0, отношение →Δ. Это логично, так как сечение становится очень узким.
Ответ соответствует ключу.