ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 333: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна h, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Рассмотрим геометрическую конфигурацию задачи. Цилиндр имеет высоту h. Секущая плоскость параллельна оси цилиндра и пересекает основания по хордам. Площадь такого сечения равна произведению длины хорды основания на высоту цилиндра: Sсеч =a·h, где a — длина хорды.
Найдем длину хорды a. Пусть радиус основания цилиндра равен R. По условию, секущая плоскость отсекает от окружности основания дугу в 120°. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту дугу (и соответствующую ей хорду), равен 120°. Рассмотрим треугольник, образованный центром основания и концами хорды. Он равнобедренный с боковыми сторонами R и углом при вершине 120°. Высота этого треугольника, опущенная из центра на хорду, является расстоянием от оси цилиндра до секущей плоскости, то есть равна d.
В прямоугольном треугольнике, образованном половиной хорды (a/2), радиусом (R) и расстоянием до хорды (d), угол при центре равен половине от 120°, то есть 60°. Тогда можно выразить половину хорды через тангенс угла или синус/косинус. Угол между высотой d и радиусом R равен 90°-60°=30°? Нет, проще рассмотреть угол между радиусом и перпендикуляром к хорде. Центральный угол 120° делится перпендикуляром пополам, образуя два угла по 60°. В полученном прямоугольном треугольнике гипотенуза — это радиус R, один катет — расстояние d, другой катет — половина хорды a/2. Угол между катетом d и гипотенузой R равен 60° (так как он лежит напротив половины хорды, которая соответствует половине дуги 60°? Проверим: дуга 120°, хорда стягивает её. Перпендикуляр из центра делит дугу пополам. Значит, угол между радиусом, идущим к концу хорды, и перпендикуляром равен 60°. Тогда cos(60°)=d/R, откуда R=d/cos(60°)=d/1/2=2d. Теперь найдем половину хорды: a/2=Rsin(60°)=2d·3/2=d3. Следовательно, вся хорда a=2d3.
Подставим найденную длину хорды в формулу площади сечения: Sсеч =a·h=2d3·h=23dh.
2\sqrt{3}dh
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник со сторонами h и хордой основания a. Хорда найдена через расстояние d от оси до плоскости и центральный угол 120°. Из прямоугольного треугольника с углом 60° при вершине (половина центрального угла) следует связь a/2=dtan(60°) или через радиус. Правильнее: в треугольнике с катетами d и a/2 и углом 60° между d и гипотенузой R: tan(60°)=a/2/d⇒a/2=d3⇒a=2d3. Площадь S=ah=23dh.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 333 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 333?
Краткий ответ: 2√3dh.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.