ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 335: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Обозначим радиус основания цилиндра через R, а его высоту (которая равна длине образующей) через H. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами 2R и H, поэтому его площадь равна S_ос =2RH. Нам нужно выразить эту величину через данную площадь S наклонных сечений.

Вычисление.

Рассмотрим одно из проведенных сечений. Оно проходит через образующую цилиндра и хорду основания. Пусть эта хорда имеет длину a. Так как плоскость сечения перпендикулярна основанию (так как содержит вертикальную образующую), само сечение является прямоугольником со сторонами a и H. По условию его площадь равна S, то есть:

Аналогично, второе сечение проходит через ту же образующую и другую хорду основания длиной b. Его площадь также равна S, следовательно:

Таким образом, a=b. Теперь рассмотрим основание цилиндра. Две плоскости сечений взаимно перпендикулярны. Линией их пересечения является данная образующая. В основании цилиндра эти плоскости пересекаются по двум хордам a и b, которые выходят из одной точки (конца образующей). Угол между этими хордами равен углу между плоскостями, то есть 90^°.

Значит, в круге основания мы имеем два перпендикулярных отрезка a и b, выходящих из одной точки окружности. Соединив концы этих хорд, получим треугольник, вписанный в окружность, у которого угол при вершине, лежащей на окружности, прямой? Нет, давайте внимательнее. Хорды a и b имеют общий конец на окружности. Пусть этот конец — точка A. Концы хорд — точки B и C. Тогда AB=a, AC=b, △ABC прямоугольный (A=90^circ). Гипотенуза BC является хордой, стягивающей дугу... Но нам важно расстояние от центра до этих хорд или связь с диаметром.

Проще использовать координаты или теорему Пифагора для расстояния между концами хорд. Однако ключевой момент: если две хорды, выходящие из одной точки окружности, взаимно перпендикулярны, то квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов этих хорд только в частном случае? Давайте проверим геометрию.

Пусть центр основания O(0,0), радиус R. Точка выхода образующей A(R,0). Плоскости сечений проходят через вертикальную прямую над A. Их следы на основании — хорды AB и AC. Так как плоскости перпендикулярны, то векторы AB и AC перпендикулярны. Длина AB=a, длина AC=b. Мы нашли, что a=b=S/H.

Впишем треугольник ABC в окружность радиуса R. Угол BAC=90^°. Значит, сторона BC является диаметром окружности! Это важное свойство: если угол между двумя хордами, исходящими из одной точки окружности, равен 90^°, то концы этих хорд соединяются диаметром.

Следовательно, в прямоугольном треугольнике ABC катеты равны a и b, а гипотенуза равна диаметру 2R. По теореме Пифагора:

Подставим a=b=S/H:

Нам нужно найти площадь осевого сечения S_ос =2RH. Выразим RH из полученного равенства:

Тогда:

Проверка.

Если бы сечения были осевыми (проходили через диаметр), то хорда была бы равна 2R, а вторая хорда тоже 2R, но они не могли бы быть перпендикулярными в одной точке на окружности, так как тогда угол между диаметрами был бы 90^circ, и площадь каждого сечения была бы 2RcdotH. Тогда S=2RH. Площадь осевого сечения тоже 2RH. Ответ совпал бы с S. Но в нашем случае формула дает Ssqrt2. Проверим граничный случай: пусть высота очень большая, а радиус маленький. Геометрия соотношения площадей сохраняется. Логика вывода через вписанный прямой угол корректна: хорды, выходящие из одной точки окружности под прямым углом, отсекают дугу, соответствующую полукругу, то есть концы хорд лежат на концах диаметра. Следовательно, сумма квадратов длин хорд равна квадрату диаметра. Все шаги верны.