ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 339: Объём шара и площадь сферы

Для решения задачи обозначим радиус основания цилиндра через r. Согласно условию, высота цилиндра на 12 см больше радиуса, следовательно, высоту можно выразить как h=r+12.

Вспомним формулу площади полной поверхности цилиндра: S_полн =2πr²+2πrh По условию эта площадь равна 288π см². Подставим выражение для высоты в формулу и составим уравнение:

1. 2πr²+2πr(r+12)=288π

Разделим обе части уравнения на 2π, чтобы упростить вычисления:

1. r²+r(r+12)=144
2. r²+r²+12r=144
3. 2r²+12r-144=0

Сократим полученное квадратное уравнение на 2:

1. r²+6r-72=0

Найдём корни уравнения по теореме Виета или через дискриминант. Сумма корней равна -6, произведение -72. Корни: r₁=6 и r₂=-12. Так как радиус не может быть отрицательным числом, отбрасываем r₂. Таким образом, радиус основания r=6 см.

Теперь найдём высоту цилиндра, используя связь h=r+12:

1. h=6+12=18 см

Проверка: Площадь полной поверхности при r=6 и h=18: 2π(6)²+2π(6)(18)=72π+216π=288π. Результат совпадает с условием.