ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 341: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра нам необходимо выразить его высоту h и радиус основания R. Мы знаем площадь основания S, из которой можно найти R. Также дан угол β=образующая/диагональ осевого сечения. В прямоугольном треугольнике, образованном образующей (высотой), половиной диагонали или всей диагональю? Нет, давайте внимательно посмотрим на геометрию. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами 2R и h. Диагональ этого прямоугольника соединяет противоположные вершины. Образующая цилиндра параллельна высоте h. Угол между образующей и диагональю равен углу между высотой h и диагональю d в этом прямоугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота h и диаметр основания 2R. Гипотенуза — диагональ d. Угол β находится при вершине, где сходится высота и диагональ. Тогда tanβ=2R/h или ctgβ=h/2R. Отсюда выразим h через R и β, а затем подставим в формулу площади боковой поверхности S_бок =2βRh.

Вычисление.

1. Площадь основания цилиндра равна S=βR². Отсюда выразим радиус: R=βS/β (Здесь β — число Пи, обозначим как β для единообразия с условием задачи, хотя обычно пишут β. В условии использована буква β для угла, поэтому для числа Пи будем использовать стандартное обозначение β или просто писать «пи». Давайте использовать β для числа, чтобы не путать с углом β. Но в тексте задачи угол назван β. Чтобы избежать путаницы, обозначим число Пи как β (pi).) Итак, R=βS/β. 2. Рассмотрим осевое сечение. Это прямоугольник со сторонами h (высота) и 2R (диаметр). Диагональ d образует с стороной h (которая параллельна образующей) угол β. В прямоугольном треугольнике с катетами h и 2R угол β лежит против катета 2R? Нет, угол между образующей (h) и диагональю. Значит, в треугольнике с катетами h и 2R, угол β прилегает к катету h. Следовательно: tgβ=2R/h Отсюда высота: h=2R/tgβ=2Rctgβ 3. Формула площади боковой поверхности цилиндра: S_бок =2βRh Подставим выражение для h: S_бок =2βR(2Rctgβ)=4βR²ctgβ 4. Так как S=βR², то βR²=S. Подставим это в полученную формулу: S_бок =4(βR²)ctgβ=4Sctgβ

Проверка.

Размерности совпадают: S имеет размерность площади, ctgβ безразмерна, результат — площадь. Логика вывода угла верна: если угол β мал, то диагональ близка к вертикали, значит высота велика относительно диаметра, ctgβ велик, площадь боковой поверхности большая. Если β стремится к 90^β, то высота мала, ctgβ стремится к 0, площадь стремится к 0. Всё согласуется с геометрическим смыслом.