ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 345: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Обозначим стороны прямоугольника ABCD как AB=a и BC=b. При вращении вокруг стороны AB радиус основания цилиндра равен b, а высота — a. При вращении вокруг стороны BC радиус основания равен a, а высота — b. Нам нужно сравнить площади боковых поверхностей и найти отношение площадей полных поверхностей.

Вычисление.

а) Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S_бок =2πRh.

• Для первого цилиндра (вращение вокруг AB): R₁=b, h₁=a. Тогда S_бок1 =2π·b·a=2πab.
• Для второго цилиндра (вращение вокруг BC): R₂=a, h₂=b. Тогда S_бок2 =2π·a·b=2πab.

Так как 2πab=2πab, то площади боковых поверхностей равны. Что и требовалось доказать.

б) Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований: S_полн =S_бок +2S_осн =2πRh+2πR²=2πR(h+R).

• Для первого цилиндра: S_полн1 =2πb(a+b).
• Для второго цилиндра: S_полн2 =2πa(b+a).

Найдем отношение этих площадей:

Сокращаем на общие множители 2π и (a+b):

Проверка.

Если a=b (прямоугольник является квадратом), то оба цилиндра идентичны, и их отношения должны быть равны 1. Формула b/a при a=b дает 1, что верно. Если b>a, то первый цилиндр имеет больший радиус (b) и меньшую высоту (a), чем второй (a и b). Поскольку площадь основания зависит от квадрата радиуса, а боковая поверхность одинакова, цилиндр с большим радиусом будет иметь большую полную поверхность. Отношение b/a>1 подтверждает это.