ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 342: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Развёрткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник. Его стороны равны высоте цилиндра h и длине окружности основания 2πR. Диагональ этого прямоугольника равна d. Угол между диагоналями равен φ. Нам нужно найти площадь боковой поверхности (площадь прямоугольника) и полную поверхность (сумма боковой площади и площадей двух оснований).

Вычисление площади боковой поверхности.

Рассмотрим развёртку — прямоугольник со сторонами a=h и b=2πR. Диагонали прямоугольника равны d и пересекаются под углом φ. Площадь любого выпуклого четырёхугольника можно вычислить как половину произведения его диагоналей на синус угла между ними. Для прямоугольника это правило также справедливо:

Таким образом, мы сразу нашли площадь боковой поверхности через заданные величины d и φ.

Вычисление радиуса основания и полной поверхности.

Чтобы найти площадь оснований, нам нужен радиус R. Выразим стороны прямоугольника через диагональ и угол между диагоналями. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Треугольник, образованный половиной диагонали и стороной h, равнобедренный с боковыми сторонами d/2. Угол при вершине O может быть равен φ или 180^°-φ. Без потери общности предположим, что угол между диагоналями, опирающийся на сторону h, равен φ. Тогда по теореме косинусов для треугольника со сторонами d/2,d/2 и включённым углом φ:

Отсюда высота цилиндра: h=dsinφ/2.

Теперь найдём вторую сторону прямоугольника b=2πR. Она соответствует стороне, опирающейся на смежный угол 180^°-φ. Аналогично:

Значит, 2πR=dcosφ/2, откуда радиус основания:

Площадь одного основания равна S_осн =πR²:

Полная поверхность цилиндра складывается из боковой поверхности и двух оснований:

Проверка и анализ ответа.

В условии ключа даны варианты ответов, где второе слагаемое содержит множитель π в числителе (1/2πd²…). Давайте перепроверим вывод радиуса. Возможно, в ключе подразумевается другой угол или иное обозначение. Если принять, что угол φ относится к другой паре вертикальных углов, то формула симметрична относительно замены синуса на косинус. Однако размерность второго слагаемого в ключе 1/2πd²sin²φ/2 имеет размерность площади, но коэффициент π там лишний, если мы делим на π при возведении в квадрат радиуса? Нет, давайте посмотрим внимательно на ключ: S_цил =1/2d²sinφ+1/2πd²sin²φ/2. Это выражение не совпадает с моим результатом d²cos²φ/2/2π. Где ошибка?

Перечитаем условие: "Угол между диагоналями... равен φ". В развёртке стороны h и 2πR. Если угол φ лежит против стороны h, то h=dsin(φ/2), а 2πR=dcos(φ/2). Тогда R=dcos(φ/2)/2π. Площадь основания πR²=d²cos²(φ/2)/4π. Две площади: d²cos²(φ/2)/2π. Итого полная: 1/2d²sinφ+d²cos²(φ/2)/2π.

Если же угол φ лежит против стороны 2πR, то 2πR=dsin(φ/2), тогда R=dsin(φ/2)/2π, а h=dcos(φ/2). Площадь боковая та же (1/2d²sinφ). Площади оснований: 2π(dsin(φ/2)/2π)²=d²sin²(φ/2)/2π. Полная: 1/2d²sinφ+d²sin²(φ/2)/2π.

Ключ предлагает вариант с множителем π перед d². Это возможно только если в условии речь шла о другом объекте или была опечатка в ключе учебника (часто бывает, что путают деление на π и умножение). Однако, строго следуя геометрии, знаменатель должен содержать π. Но так как я обязан ориентироваться на ключ, проверю, нет ли другого толкования. Может быть, d — это не диагональ развёртки, а диагональ осевого сечения? Нет, сказано "диагональю развёртки".

Давайте сравним мой ответ и ключ. Мой: 1/2πd²cos²φ/2. Ключ: 1/2πd²cos²φ/2. Разница в факторе π². Вероятно, в ключе допущена ошибка, либо я неверно истолковал "развёртку". Но развёртка боковой поверхности — это всегда прямоугольник. Формула площади круга πr². Если r содержит π в знаменателе, то r² содержит π², сокращаемое с одним π. Остаётся 1/π. Ключ даёт π. Это грубая ошибка в решебнике или специфическое определение. Поскольку инструкция говорит: "ключ ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой", я приведу математически верное решение, но упомяну альтернативную запись из ключа как возможную интерпретацию задачи с другим углом или ошибкой источника. Тем не менее, стандартное геометрическое решение приводит к знаменателю 2π.

Однако, чтобы соответствовать формату "готового решения" без критики учебника, я представлю корректный вывод. Замечу, что иногда в задачах такого типа угол φ может определяться иначе, но структура S_бок однозначна. Для полноты картины, если бы радиус был выражен иначе... Нет, всё верно. Я запишу правильный ответ. Если требуется строго следовать ключу, то это невозможно без нарушения математики. Но часто в таких задачах подразумевается, что ученик может выбрать любой из двух вариантов в зависимости от того, какой угол считать данным (острый или тупой), но множитель π принципиален.

Примечание: В некоторых изданиях задачников встречается опечатка в ответе, где вместо деления на π стоит умножение. Мы будем придерживаться строгого вывода.

Итак, окончательные формулы:

1. Боковая поверхность: S_бок =1/2d²sinφ.

2. Полная поверхность: S_полн =1/2d²sinφ+d²/2πcos²φ/2 (если φ — угол против высоты) или S_полн =1/2d²sinφ+d²/2πsin²φ/2 (если φ — угол против длины окружности).