ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 343: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Чтобы найти площадь основания цилиндра, нам нужно определить радиус его основания r. Формула площади круга: S=πr². Ключевой момент задачи — понять связь между исходным квадратом и цилиндром. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник. В данном случае этот прямоугольник является самим квадратом со стороной a и диагональю d. При сворачивании квадрата в боковую поверхность цилиндра одна сторона квадрата становится высотой цилиндра (h), а другая сторона превращается в длину окружности основания цилиндра (C). Поскольку это квадрат, обе стороны равны a. Значит, длина окружности основания C=a. Нам нужно выразить сторону квадрата a через диагональ d, затем найти радиус r из длины окружности, и наконец вычислить площадь основания.

Вычисления.

1. Связь между диагональю d и стороной a квадрата определяется теоремой Пифагора для половины квадрата (или формулой диагонали): d=a2 Отсюда выразим сторону квадрата: a=d/2
2. Как было установлено в плане, сторона квадрата a равна длине окружности основания цилиндра C: C=a=d/2
3. Длина окружности связана с радиусом r формулой C=2πr. Выразим радиус: 2πr=d/2impliesr=d/2π2
4. Теперь найдем площадь основания цилиндра S_осн по формуле S=πr²: S_осн =π(d/2π2)² Возведем выражение в скобках в квадрат: (d/2π2)²=d²/4π²·2=d²/8π² Подставим обратно в формулу площади: S_осн =π·d²/8π²=d²/8π

Проверка.

Давайте проверим логику на простом примере. Пусть диагональ квадрата d=22. Тогда сторона квадрата a=d/2=2. Если свернуть квадрат со стороной 2 в цилиндр, то длина окружности основания будет 2. Радиус r=C/(2π)=2/(2π)=1/π. Площадь основания S=πr²=π(1/π)²=π/π²=1/π. По нашей формуле: S=d²/(8π)=(22)²/(8π)=(4·2)/(8π)=8/(8π)=1/π. Результаты совпадают. Ответ верен.