ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 347: Усечённый конус

План решения.

Для нахождения площади основания конуса необходимо определить радиус его основания r. В осевом сечении конуса образуется прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна образующей l=12 см, а катет, лежащий в плоскости основания, равен радиусу r. Угол между образующей и плоскостью основания обозначен как β (в условии — β). Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике следует, что β=r/l, откуда r=lβ. Площадь основания вычисляется по формуле S=βr². Подставим выражение для радиуса: S=β(lβ)²=βl²β².

Вычисления по пунктам.

а) При β=30^β:

• β30^β=β/2;
• r=12ββ/2=6β см;
• S=β(6β)²=ββ36=36β см².

б) При β=45^β:

• β45^β=β/β;
• r=12ββ/β=6β см;
• S=β(6β)²=ββ72=72β см².

в) При β=60^β:

• β60^β=1/2;
• r=12β1/2=6 см;
• S=ββ6²=36β см².

Проверка и анализ результата.

Сравним полученные значения с ключом из учебника. Для пункта б) (72β) и в) (36β) результаты совпадают. Однако для пункта а) мы получили 36β, тогда как в ключе указано 108β. Проверим логику: при уменьшении угла наклона образующей к основанию радиус должен увеличиваться (так как β растет от 0^β до 90^β? Нет, β убывает от 1 до 0). Подождите, β30^β<β45^β<β60^β. Значит, радиусы должны быть: r₃₀>r₄₅>r₆₀. То есть площадь при 30^β должна быть наибольшей. В нашем расчете S₃₀=36β, S₄₅=72β, S₆₀=36β. Здесь ошибка в логике сравнения или вычислении?

Пересчитаем аккуратно. Формула r=lβ. Так как функция β на интервале (0^β,90^β) возрастает, то чем больше угол, тем больше радиус. Следовательно, r₆₀>r₄₅>r₃₀. Тогда площади должны удовлетворять неравенству S₆₀>S₄₅>S₃₀. Наши вычисления: а) r=12β30^β=12ββ/2=6β. S=β(6β)²=36β. б) r=12β45^β=12ββ/β=6β. S=β(6β)²=72β. в) r=12β60^β=12β1/2=6. S=ββ6²=36β. Здесь явная нестыковка с монотонностью. Почему S₃₀=S₆₀? Потому что β30^β=β60^β? Нет, β30^β=β/2βββ0.866, а β60^β=0.5. Они не равны. Ошибка в вычислении квадрата синуса. β²30^β=(β/2)²=3/4. S=ββ12²β3/4=ββ144β3/4=108β. Это совпадает с ключом! β²45^β=(β/β)²=1/2. S=ββ144β1/2=72β. Совпадает с ключом. β²60^β=(1/2)²=1/4. S=ββ144β1/4=36β. Совпадает с ключом. Итак, правильные ответы: а) 108β, б) 72β, в) 36β. Все пункты верифицированы и соответствуют ключу.