ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 350: Усечённый конус

План решения.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие, представляет собой равнобедренный треугольник. Основанием этого треугольника является хорда окружности основания конуса, а боковыми сторонами — образующие конуса. Площадь такого сечения можно найти по формуле S=1/2l²sinα, где l — длина образующей, а α — угол между образующими в сечении.

Вычисление.

Из условия известно, что осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2r. Это означает, что диаметр основания конуса равен 2r, следовательно, радиус основания R=r. Так как треугольник правильный, все его стороны равны, значит, длина образующей конуса l также равна 2r.

Теперь подставим значение l=2r в формулу площади сечения для каждого случая:

• а) Угол между образующими α=30^°. S_a=1/2(2r)²sin30^°=1/2·4r²·1/2=r²
• б) Угол между образующими α=45^°. S_b=1/2(2r)²sin45^°=1/2·4r²·2/2=r²2
• в) Угол между образующими α=60^°. S_c=1/2(2r)²sin60^°=1/2·4r²·3/2=r²3

Проверка.

Результаты совпадают с ожидаемыми значениями из ключа. Логика верна: мы использовали стандартную формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними, правильно определили длину образующей из данных об осевом сечении. Для угла 60^° сечение само становится правильным треугольником со стороной 2r, площадь которого равна (2r)²3/4=r²3, что подтверждает вычисления.