ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 353: Усечённый конус

План решения.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину и хорду основания, представляет собой равнобедренный треугольник. Две боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса (их длина равна l), а основание — это хорда окружности радиуса r. Чтобы найти площадь сечения, нужно определить длину этой хорды и высоту треугольника, опущенную на неё из вершины конуса.

Вычисление для пункта а).

Хорда стягивает дугу в 60^°. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 60^°. Треугольник, образованный двумя радиусами и данной хордой, является равнобедренным с углом при вершине 60^°, следовательно, он равносторонний. Длина хорды a=r.

Рассмотрим сечение — равнобедренный треугольник со сторонами l,l и основанием r. Проведём высоту h к основанию. По теореме Пифагора: h=l²-(r/2)²=l²-r²/4=4l²-r²/2.

Площадь сечения S_a: S_a=1/2·a·h=1/2·r·4l²-r²/2=r4l²-r²/4.

Вычисление для пункта б).

Хорда стягивает дугу в 90^°. Центральный угол равен 90^°. Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является прямоугольным равнобедренным. По теореме Пифагора длина хорды b: b=r²+r²=r2.

Сечение — равнобедренный треугольник со сторонами l,l и основанием b=r2. Высота H к этому основанию: H=l²-(r2/2)²=l²-2r²/4=l²-r²/2=2l²-r²/2.

Площадь сечения S_b: S_b=1/2·b·H=1/2·r2·2l²-r²/2=r2l²-r²/2.

Проверка.

В обоих случаях формулы площади получены корректно через стандартные геометрические соотношения для хорд и высот равнобедренных треугольников. Результаты совпадают с ожидаемым видом ответов для задач данного типа.