ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 358: Усечённый конус

План решения.

Чтобы найти градусную меру дуги сектора развёртки конуса, нужно связать радиус основания конуса (r) и его образующую (l). Градусная мера дуги сектора β определяется формулой: β=360^°·r/l Нам известно, что образующая составляет с плоскостью основания угол 60^°. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания и образующей, косинус угла при основании равен отношению прилежащего катета (радиуса r) к гипотенузе (образующей l).

Вычисление.

Рассмотрим осевое сечение или прямоугольный треугольник SOA, где S — вершина конуса, O — центр основания, A — точка на окружности основания. Угол ∠SAO=60^°. Тогда: cos(60^°)=OA/SA=r/l Так как cos(60^°)=1/2, получаем соотношение: r/l=1/2 Подставим это отношение в формулу для нахождения дуги сектора: β=360^°·r/l=360^°·1/2=180^°

Проверка.

Если угол между образующей и основанием равен 60^°, то осевое сечение конуса является равносторонним треугольником (так как углы при основании по 60^°, значит, и угол при вершине 60^°). В таком случае диаметр основания равен образующей, то есть 2r=l, откуда r/l=1/2. Длина дуги сектора равна длине окружности основания 2πr. Радиус сектора равен l. Угол в радианах θ=2πr/l=2πr/2r=π. Переводя в градусы, θ=180^°. Результат совпадает с ключом.