ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 354: Усечённый конус
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Высота конуса равна 10 см. Найти площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания угол
а) 30°
б) 45°
в) 60°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину и хорду основания, является равнобедренным треугольником. Чтобы найти его площадь, нам нужно определить длину основания этого треугольника (хорды) и высоту сечения. Высота конуса H=10 см опущена в центр основания O. Пусть AB — хорда, стягивающая дугу 60°. Треугольник AOB равносторонний, так как угол при центре 60°, а радиусы равны. Значит, длина хорды AB=R. Расстояние от центра O до хорды AB обозначим d. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, расстоянием d и наклонной (высотой сечения), угол между наклонной и основанием равен заданному углу β. Площадь сечения вычисляется по формуле S=1/2·AB·hsec, где hsec — высота сечения.
Вычисления.
1. Найдем связь между радиусом R и расстоянием до хорды d. Так как △AOB равносторонний (OA=OB=R, ∠AOB=60°), то медиана OM (где M — середина AB) является также высотой. В △OMA: ∠AOM=30°, гипотенуза OA=R. Тогда катет OM=d=Rcos(30°)=R3/2. Отсюда выразим радиус: R=2d/3. Длина хорды AB=R=2d/3.
2. Рассмотрим △SOM, где SO — высота конуса (SO=10), SM — высота сечения (hsec), OM=d. Угол ∠SMO=β (угол между плоскостями). Из прямоугольного △SOM: sinβ=SO/SM⇒SM=10/sinβ. Также tanβ=SO/OM⇒OM=d=10/tanβ.
Подставим d в выражение для AB: AB=2/3·10/tanβ=20/3tanβ.
Теперь найдем площадь сечения: S=1/2·AB·SM=1/2·(20/3tanβ)·(10/sinβ)=100/3tanβsinβ Упростим знаменатель: tanβsinβ=sin2β/cosβ. Тогда S=100cosβ/3sin2β.
Расчет по пунктам:
- а) β=30°. cos30°=3/2, sin30°=1/2, sin230°=1/4. Sa=100·3/2/3·1/4=503/3/4=503·4/3=200 см² .
- б) β=45°. cos45°=2/2, sin45°=2/2, sin245°=1/2. Sb=100·2/2/3·1/2=502/3/2=1002/3=1006/3 см² .
- в) β=60°. cos60°=1/2, sin60°=3/2, sin260°=3/4. Sc=100·1/2/3·3/4=50/33/4=200/33=2003/9 см² .
Проверка.
Для пункта а) получили ответ 200, что совпадает с ключом. Для пункта б) получили 1006/3, что совпадает с ключом. Логика решения основана на стандартных соотношениях в усеченном/полном конусе и тригонометрии, ошибок в преобразованиях не обнаружено.
а) 200 см²
б) 1006/3 см²
в) 2003/9 см²
В условии дано 'Высота конуса', но тема §42 'Усечённый конус'. Однако задача описывает сечение, проходящее через *вершину* конуса. Это означает, что речь идет о полном конусе, или же это задача на применение свойств сечений, которые могут встречаться в параграфе про усеченные тела как вводная часть или сравнение. Ключи соответствуют полному конусу. Если бы это был усеченный конус, сечение через 'вершину' было бы невозможно (так как вершины нет, есть верхнее основание). Следовательно, решаем задачу для полного конуса с высотой H=10.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 354 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 354?
Краткий ответ: а) 200 см²; б) 100√63 см²; в) 200√39 см².
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 42. Усечённый конус.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.