ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 357: Усечённый конус

План решения.

Чтобы найти угол β (в условии обозначен как β, но обычно это θ или β, здесь будем использовать β для угла сектора) развёртки боковой поверхности конуса, нужно связать длину дуги сектора с длиной окружности основания конуса. Сначала найдём образующую конуса l по теореме Пифагора, используя высоту h и радиус основания r. Затем выразим угол сектора через отношение длины окружности основания к длине дуги сектора (которая равна длине окружности радиуса l).

Вычисление.

1. Найдём образующую конуса l. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, имеем: l=h²+r² Подставим данные из условия (h=4 см, r=3 см): l=4²+3²=16+9=25=5 см
2. Длина окружности основания конуса равна: C_осн =2πr=2π·3=6π см
3. Развёртка боковой поверхности является сектором радиуса l=5 см. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания, то есть L_дуги =6π см.
4. Угол сектора β в градусах можно найти по формуле длины дуги: L_дуги =β/360^°·2πl Отсюда выразим β: β=L_дуги ·360^°/2πl Подставим значения: β=6π·360^°/2π·5=6·360^°/10=2160^°/10=216^°

Проверка.

Проверим логику соотношения. Угол полного круга при радиусе l соответствует длине окружности 2πl. Наша дуга имеет длину 2πr. Значит, доля угла от 360^° равна отношению радиусов r/l. β=360^°·r/l=360^°·3/5=72^°·3=216^° Результат совпадает с полученным ранее значением и ключом ответа.