ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 359: Усечённый конус

План решения.

Для нахождения угла при вершине осевого сечения конуса необходимо связать параметры развёртки боковой поверхности с геометрией самого конуса. Пусть l — образующая конуса (которая является радиусом сектора развёртки), а r — радиус основания конуса. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса: 2πr. Также длина дуги сектора выражается через центральный угол α (в градусах) и радиус l: L_arc=πlα/180^°. Приравнивая эти величины, получаем соотношение между r и l: 2πr=πlα/180^°impliesr=l·α/360^°.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными l, и основанием, равным 2r. Обозначим искомый угол при вершине этого треугольника как φ. Проведём высоту к основанию, которая делит угол φ пополам и основание пополам. В полученном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна l, а противолежащий катет (половина диаметра) равен r. Тогда синус половины угла при вершине равен отношению катета к гипотенузе: sin(φ/2)=r/l.

Подставив найденное ранее отношение r/l=α/360^°, получаем формулу для вычисления угла: sin(φ/2)=α/360^°impliesφ=2arcsin(α/360^°). Теперь применим эту формулу к каждому пункту задачи.

Вычисление.

• а) Дана дуга α=180^°. sin(φ/2)=180^°/360^°=1/2. Так как φ/2 — острый угол, то φ/2=30^°. Следовательно, угол при вершине: φ=2·30^°=60^°.
• б) Дана дуга α=90^°. sin(φ/2)=90^°/360^°=1/4. Отсюда половина угла равна arcsin(1/4), значит, весь угол: φ=2arcsin(1/4).
• в) Дана дуга α=60^°. sin(φ/2)=60^°/360^°=1/6. Аналогично предыдущему пункту, угол при вершине равен: φ=2arcsin(1/6).

Проверка.

Рассмотрим пункт а). Если угол при вершине осевого сечения равен 60^°, то осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной l. Тогда диаметр основания 2r=l, откуда r=l/2. Длина окружности основания 2πr=πl. Длина дуги развёртки при угле 180^° равна половине длины окружности радиуса l, то есть 1/2·2πl=πl. Равенство выполняется, решение верно. Для пунктов б) и в) значения не являются «красивыми» градусами, поэтому ответ записывается через арксинусы, что соответствует стандартной практике в задачах на обратные тригонометрические функции.