ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 363: Усечённый конус

План решения.

Для нахождения площади полной поверхности конуса нам понадобятся радиус основания R и образующая l. Формула полной поверхности: S_полн =πR²+πRl=πR(R+l). Радиус основания можно выразить через параметры вписанного треугольника. По теореме синусов для треугольника со стороной a и противолежащим углом α: 2R=a/sinα⇒R=a/2sinα. Образующую l найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса H, радиусом основания R и образующей l. Угол между образующей и плоскостью основания равен φ. Следовательно, cosφ=R/l⇒l=R/cosφ.

Вычисление.

Подставим выражение для l через R в формулу площади: S_полн =πR(R+R/cosφ)=πR²(1+1/cosφ)=πR²cosφ+1/cosφ. Теперь подставим значение R=a/2sinα: R²=a²/4sin²α. Таким образом, S_полн =π·a²/4sin²α·1+cosφ/cosφ=πa²(1+cosφ)/4sin²αcosφ. Используем формулу половинного угла 1+cosφ=2cos²φ/2, но оставим ответ в более привычном виде или упростим до вида, близкого к ключу, если это возможно алгебраически. Заметим, что ключ содержит cos²φ в числителе, что может указывать на другую интерпретацию или опечатку в ключе, либо на использование тождества 1+cosφ=2cos²(φ/2), которое не сводится напрямую к cos²φ. Однако, давайте проверим стандартный вывод. Если предположить, что в условии имелась в виду боковая поверхность или другая конфигурация, результат мог бы отличаться. Но строго по условию «площадь полной поверхности»: S=πR²+πRl=πR²+πRR/cosφ=πR²(1+1/cosφ). Ответ: πa²(1+cosφ)/4sin²αcosφ.

Проверка и примечание к ключу.

Приведенный в задаче ключ πa²cos²φ/2sin²αcosφ=πa²cosφ/2sin²α соответствует площади боковой поверхности конуса (S_бок =πRl=πRR/cosφ=πR²/cosφ), если бы в знаменателе было cosφ, а не произведение... Давайте пересчитаем боковую поверхность: S_бок =πRl=π·a/2sinα·a/2sinαcosφ=πa²/4sin²αcosφ. Это тоже не совпадает с ключом. Ключ πa²cosφ/2sin²α получается, если l=Rcosφ (что неверно геометрически, так как l>R при острых углах) или если угол дан иначе. Однако, часто в таких задачах под «площадью поверхности» могут подразумевать только боковую, или в ключе ошибка. Строго математически правильным ответом для полной поверхности является выражение, полученное выше. Если же следовать логике некоторых старых сборников, где путают определения, стоит обратить внимание на размерность. Ключ имеет размерность площади. Наш ответ тоже. В данном решении мы приводим строгий вывод для полной поверхности. Если требуется получить именно ключ, вероятно, в условии задачи была опечатка (например, найти площадь осевого сечения или боковую поверхность при другом угле). Но так как инструкция требует писать оригинальное решение по условию, оставляем корректный вывод.