ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 355: Усечённый конус

План доказательства. Для того чтобы доказать утверждение, нам необходимо рассмотреть осевое сечение конуса плоскостью, проходящей через ось PO и перпендикулярной секущей плоскости β. В этом сечении мы увидим равнобедренный треугольник PAB, где A и B — точки на окружности основания. Секущая плоскость β пересечёт это осевое сечение по отрезку CD, который является диаметром искомого сечения. Нам нужно показать, что все точки пересечения образующих конуса с плоскостью β лежат на одной окружности с центром в точке O₁ и радиусом r₁, удовлетворяющим заданному соотношению.

Вычисление и геометрические рассуждения. Рассмотрим произвольную точку M на образующей конуса PA. Пусть эта точка лежит также в секущей плоскости β. Так как плоскость β перпендикулярна оси конуса PO, то она параллельна плоскости основания конуса (так как основание тоже перпендикулярно оси). Введём систему координат или воспользуемся подобием треугольников в осевом сечении. Пусть H — высота конуса, то есть длина отрезка PO=H. Радиус основания OA=r. Точка O₁ лежит на оси PO. Обозначим расстояние PO₁=h₁. Тогда расстояние от вершины до плоскости основания равно H, а до секущей плоскости — h₁. Рассмотрим треугольник POA. Он прямоугольный (△POA имеет прямой угол при O, так как ось перпендикулярна основанию). Однако для подобия удобнее рассматривать проекции. Проведём из точки M перпендикуляр к оси PO, пусть основанием будет точка K. Но проще использовать теорему Фалеса или подобие треугольников, образованных осью и образующей. Рассмотрим сечение, проходящее через ось PO и точку M. Это сечение содержит треугольник POA (или его часть). Точка M лежит на гипотенузе PA. Плоскость β пересекает этот треугольник по линии, параллельной основанию OA (так как βbotPO и OAbotPO). Следовательно, если опустить перпендикуляр из M на ось PO, он попадёт в точку O₁? Нет, O₁ — это центр сечения на оси. Расстояние от оси до точки M есть радиус сечения r_M. Из подобия треугольников △PO₁M′ и △POA (где M′ — проекция M на плоскость основания, но лучше рассмотреть сечение через ось): Пусть M — точка на образующей PA. Проведём через M прямую, параллельную OA, до пересечения с осью PO в точке O₁. Так как плоскость β перпендикулярна оси, то любая точка сечения находится на расстоянии от оси, равном длине отрезка, соединяющего эту точку с осью под прямым углом. Рассмотрим треугольник POA. Пусть M — точка на стороне PA. Если провести через M прямую, параллельную OA, она пересечёт PO в некоторой точке. Но у нас плоскость β фиксирована и проходит через O₁. Значит, точка пересечения образующей PA с плоскостью β — это такая точка M, что её проекция на ось совпадает с O₁. Так как MO₁botPO (по определению расстояния до оси в плоскости, перпендикулярной ей) и AObotPO, то MO₁barparallelAO. Треугольники △PMO₁ и △PAO подобны по двум углам: 1. PM/PA=PO₁/PO (общий угол при вершине P и параллельные стороны). 2. Следовательно, отношение соответствующих катетов равно отношению гипотенуз или других сторон: MO₁/AO=PO₁/PO Обозначим MO₁=r₁ (радиус сечения в данной точке), AO=r (радиус основания). Тогда получаем: r₁=r·PO₁/PO Это равенство верно для любой образующей конуса, так как все образующие равны и углы наклона одинаковы. Таким образом, расстояние от центра O₁ до любой точки границы сечения постоянно и равно r₁. Следовательно, сечение является кругом радиуса r₁ с центром в O₁.

Проверка результата. Если секущая плоскость совпадает с основанием, то O₁ совпадает с O, и PO₁=PO. Тогда формула даёт r₁=r·PO/PO=r, что верно. Если секущая плоскость проходит через вершину P, то O₁ совпадает с P, и PO₁=0. Тогда r₁=r·0=0, что соответствует вырожденному сечению (точке). Для промежуточных положений плоскости радиус уменьшается линейно с высотой, что согласуется со свойством конуса. Доказательство завершено.