ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 351: Усечённый конус

План решения.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие, представляет собой равнобедренный треугольник. По условию эти образующие взаимно перпендикулярны, значит, сечение — прямоугольный треугольник. Нам нужно найти его площадь. Для этого определим длину катетов (образующих) и высоту этого треугольника, опущенную на гипотенузу, используя данные о высоте конуса h и угле между высотой и образующей (60^°).

Вычисление.

Рассмотрим осевое сечение конуса или прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса SO=h, радиусом основания OA=r и образующей SA=l. Угол между высотой и образующей равен ∠ASO=60^°.

Из прямоугольного треугольника SOA найдем образующую l:

Таким образом, длина каждой образующей равна 2h. Поскольку в сечении участвуют две взаимно перпендикулярные образующие, то есть SA⊥SB, треугольник SAB является прямоугольным с катетами SA=SB=2h.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Проверка.

Логика верна: угол при вершине конуса между двумя образующими равен сумме углов между каждой из них и высотой? Нет, здесь важно геометрическое расположение. Если мы берем две образующие, которые взаимно перпендикулярны, они не обязательно лежат в одной плоскости с осью симметрии так, чтобы их проекции на основание были противоположны. Однако само условие «сечение, проходящее через две... образующие» подразумевает, что эти две образующие задают плоскость сечения. Треугольник сечения имеет стороны l,l и хорду основания. Так как образующие перпендикулярны, это прямоугольный треугольник. Его площадь вычисляется просто как половина произведения катетов. Катеты равны образующей l=2h. Площадь 2h². Результат совпадает с ориентиром.