ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 349: Усечённый конус

План решения.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами — образующие. По условию это сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку он равнобедренный, прямой угол находится при вершине конуса (между образующими). Нам нужно найти площадь этого треугольника, зная радиус основания r=5 см.

Вычисление.

1. Найдем длину основания осевого сечения. Основанием служит диаметр конуса:

2. Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник. Пусть его катеты равны l (это образующие конуса), а гипотенуза равна d. Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, углы при основании равны 45^°. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит этот треугольник на два меньших равнобедренных прямоугольных треугольника. Следовательно, высота h равна половине гипотенузы:

3. Теперь вычислим площадь осевого сечения по формуле площади треугольника:

Проверка.

Можно также найти площадь через катеты. Из теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника: l²+l²=d², откуда 2l²=100, значит l²=50. Площадь такого треугольника равна половине произведения катетов: S=1/2l²=1/2·50=25 см². Результат совпадает.