ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 326: Объём шара и площадь сферы

План решения:

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами цилиндра. Пусть O₁ и O₂ — центры оснований цилиндра, а прямая l — ось цилиндра (O₁O₂). Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований. Расстояние между скрещивающимися прямыми AB и осью l равно d. Это расстояние измеряется по общему перпендикуляру к обеим прямым.

Рассмотрим проекцию отрезка AB на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра (или просто используем теорему Пифагора в пространстве). Если провести через середину отрезка AB плоскость, параллельную основаниям, или рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой цилиндра, расстоянием до оси и хордой, то можно вывести связь.

Более простой подход: пусть M — середина отрезка AB. Проведем из точки M перпендикуляр к оси цилиндра. Длина этого перпендикуляра равна d (так как это кратчайшее расстояние между прямой AB и осью, если предположить симметричное расположение относительно середины высоты, что верно для общего случая нахождения связи параметров через прямоугольный треугольник с гипотенузой AB/2? Нет, давайте аккуратно).

Верный геометрический смысл: расстояние d между прямой AB и осью цилиндра — это длина общего перпендикуляра. Пусть этот перпендикуляр пересекает ось в точке K, а прямую AB в точке L. Тогда KL=d. Точка L лежит на отрезке AB. Так как концы A и B находятся на разных основаниях, проекция отрезка AB на ось имеет длину h. Проекция отрезка AB на плоскость основания имеет длину, связанную с r и d. Давайте используем формулу, связывающую эти величины. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где: 1. Гипотенуза — это половина длины отрезка AB? Нет. 2. Лучше рассмотреть вектор AB. Его вертикальная составляющая равна h. Его горизонтальная составляющая (проекция на плоскость основания) равна длине хорды c, соединяющей проекции точек A и B. 3. Расстояние от центра основания до этой хорды c связано с d. Однако d — это расстояние до прямой AB. Существует известная зависимость для такого типа задач: квадрат длины отрезка AB равен сумме квадратов высоты h и квадрата длины проекции AB на основание. Но нам дано расстояние d до оси. Рассмотрим сечение, проходящее через ось цилиндра и перпендикулярное отрезку AB (или содержащее общий перпендикуляр). В общем случае, если отрезок AB не проходит через центр, его проекция на основание является хордой. Расстояние от центра основания до этой хорды обозначим x. Тогда x²+(c/2)²=r², где c — длина проекции AB на основание. Однако есть более простая интерпретация для школьной геометрии: часто подразумевается, что отрезок AB расположен так, что его средняя точка находится на расстоянии d от оси в горизонтальной плоскости, а вертикальное смещение составляет h. Но d — расстояние между скрещивающимися прямыми. Формула связи: AB²=h²+4(r²-d²) Эта формула выводится из того, что проекция отрезка AB на плоскость основания является хордой, удаленной от центра на расстояние d (если считать, что общий перпендикуляр лежит в плоскости, параллельной основанию, и делит высоту пополам, что верно для симметричного расположения концов относительно середины высоты, но в задаче концы на разных основаниях). Проверим логику вывода формулы AB²=h²+4(r²-d²): Пусть координаты A(0,r,0) и B(x_B,y_B,h). Это сложно. Стандартное решение таких задач опирается на построение прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота h и длина проекции отрезка на основание a_proj. AB²=h²+a2proj Проекция a_proj — это хорда окружности радиуса r. Расстояние от центра окружности до этой хорды равно d (так как ось цилиндра перпендикулярна основанию, а расстояние от прямой до оси проецируется на расстояние от хорды до центра). Из свойств хорды: a_proj=2r²-d² Подставляем в первое уравнение: AB²=h²+(2r²-d²)²=h²+4(r²-d²) Таким образом, основная рабочая формула: AB²=h²+4r²-4d²

Вычисление:

а) Дано: r=10 дм, d=8 дм, AB=13 дм. Найти h.

Используем формулу: 13²=h²+4(10²-8²)

Вычисляем правую часть:

• 13²=169
• 10²=100, 8²=64
• 100-64=36
• 4·36=144

Уравнение принимает вид: 169=h²+144

Находим h²: h²=169-144=25

Отсюда: h=25=5 дм

б) Дано: h=6 см, r=5 см, AB=10 см. Найти d.

Используем ту же формулу: 10²=6²+4(5²-d²)

Вычисляем известные значения:

• 10²=100
• 6²=36
• 5²=25

Подставляем: 100=36+4(25-d²)

Переносим 36 влево: 100-36=4(25-d²) 64=4(25-d²)

Делим на 4: 16=25-d²

Находим d²: d²=25-16=9

Отсюда: d=9=3 см

Проверка:

В пункте а) получили h=5. Проверим неравенство треугольника и существование конфигурации. Проекция AB на основание равна 2100-64=12. Треугольник со сторонами 5, 12, 13 является прямоугольным (5²+12²=25+144=169=13²), что соответствует условию задачи. Значения корректны.

В пункте б) получили d=3. Проекция AB на основание равна 225-9=216=8. Треугольник со сторонами 6, 8, 10 является прямоугольным (6²+8²=36+64=100=10²), что соответствует длине отрезка AB. Значения корректны.