ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 325: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Обозначим радиус основания цилиндра через R, а высоту (которая равна стороне осевого сечения) через H. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами 2R и H. Нам дано отношение площади основания к площади осевого сечения. Используя это отношение, найдем связь между R и H. Затем, рассматривая треугольники, образованные диагональю осевого сечения, вычислим искомые углы.

Вычисление.

1. Запишем формулы для площадей:

• Площадь основания: S_осн =πR².
• Площадь осевого сечения: S_сеч =2R·H.

По условию задачи:

Подставим выражения для площадей:

Сократим π и одно R (так как R>0):

Отсюда выразим отношение H к R:

Или удобнее записать отношение стороны к основанию в прямоугольном треугольнике, который образуется диагональю сечения. Диагональ осевого сечения соединяет противоположные вершины прямоугольника со сторонами 2R и H.

а) Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания.

Пусть этот угол равен α. Этот угол является углом между диагональю и её проекцией на плоскость основания. Проекцией диагонали на основание является сторона прямоугольника, равная диаметру 2R.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой цилиндра H, диаметром основания 2R и диагональю сечения d. Катеты этого треугольника — H и 2R. Угол α лежит против катета H.

Подставим найденное ранее соотношение H=2R/3:

Так как tan30^°=1/3, то:

б) Угол между диагоналями осевого сечения.

Осевое сечение — прямоугольник. Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — O. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и одной из сторон прямоугольника. Однако проще рассмотреть угол между диагоналями через свойства равнобедренных треугольников, которые образуются при пересечении диагоналей.

Диагонали прямоугольника равны. Пусть угол между диагоналями равен β. В прямоугольнике диагонали образуют два вертикальных угла. Один из них может быть острым или тупым. Обычно под «углом между прямыми» понимают меньший из этих углов (≤90^°).

Рассмотрим треугольник, образованный центром прямоугольника и стороной 2R (основанием). Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными половине диагонали d/2, и основанием 2R. Высота этого треугольника, опущенная на основание 2R, равна H/2.

Угол при вершине этого треугольника (в центре) обозначим γ₁. Тогда:

Из пункта (а) мы знаем, что H/2R=1/3, следовательно, 2R/H=3.

Это один из углов между диагоналями. Второй угол γ₂ смежный с ним:

Так как 60^°<90^°, то искомый угол между диагоналями равен 60^°.

Проверка.

Если угол наклона диагонали к основанию 30^°, то высота H меньше диаметра 2R (H=2Rtan30^°=2R/3). Отношение площадей: πR²/2R·(2R/3)=πR²/4R²/3=π3/4. Совпадает с условием. Углы между диагоналями прямоугольника с соотношением сторон 1:3 (высота к полу-диаметру? Нет, стороны 2R и H=2R/3, т.е. 1:1/3 или 3:1). Если стороны прямоугольника относятся как 3:1, то угол между диагоналями действительно 60^° и 120^°. Меньший угол 60^°. Ответы согласованы.