ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 311: Элементы симметрии правильных многогранников
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами AC=13 см, AB=15 см, CB=14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см.
а) Найти площадь полной поверхности пирамиды.
б) Доказать, что основание перпендикуляра, проведённого из вершины A к плоскости грани BDC, лежит на высоте этой грани, и найти длину этого перпендикуляра.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Для пункта а) вычислим площади всех четырёх граней пирамиды DABC и сложим их. Основание — треугольник ABC, боковые грани — DAC, DAB и DBC. Учтём, что ребро DA перпендикулярно основанию, поэтому грани DAC и DAB являются прямоугольными треугольниками.
- Для пункта б) воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах для доказательства того, что проекция вершины A на плоскость BDC лежит на высоте грани BDC. Затем найдём длину перпендикуляра через объём пирамиды или свойства прямоугольного треугольника сечения.
Вычисления:
1. Площадь основания SABC.
Стороны треугольника ABC: a=14, b=13, c=15. Найдём площадь по формуле Герона. Полупериметр p=13+14+15/2=21 см.
SABC=21(21-13)(21-14)(21-15)=21·8·7·6=7056=84 см² .2. Площади боковых граней SDAC и SDAB.
Так как DA⊥(ABC), то DA⊥AC и DA⊥AB. Треугольники DAC и DAB — прямоугольные с катетами DA=9 см.
SDAC=1/2·DA·AC=1/2·9·13=58.5 см² . SDAB=1/2·DA·AB=1/2·9·15=67.5 см² .3. Площадь грани SDBC.
Найдём стороны треугольника DBC. По теореме Пифагора в △DAC и △DAB:
DC=DA2+AC2=92+132=81+169=250=510 см , DB=DA2+AB2=92+152=81+225=306=334 см .Сторона BC=14 см. Чтобы найти площадь △DBC, проведём высоту DK из вершины D к стороне BC. Так как DA⊥(ABC), то проекцией наклонных DB и DC на плоскость основания являются отрезки AB и AC. Однако проще использовать формулу площади через стороны или найти высоту основания AH и затем применить теорему о трёх перпендикулярах.
Пусть H — основание высоты AH в △ABC. Площадь SABC=1/2BC·AH⇒84=1/2·14·AH⇒AH=12 см.
По теореме о трёх перпендикулярах, так как DA⊥(ABC) и AH⊥BC, то наклонная DH⊥BC. Значит, DH — высота грани DBC.
В прямоугольном △DAH (∠DAH=90°):
DH=DA2+AH2=92+122=81+144=225=15 см .Тогда площадь грани DBC:
SDBC=1/2·BC·DH=1/2·14·15=105 см² .4. Полная поверхность.
Sполн =SABC+SDAC+SDAB+SDBC=84+58.5+67.5+105=315 см² .5. Доказательство и длина перпендикуляра из A к (BDC).
Рассмотрим плоскость ADH. Она перпендикулярна прямой BC, так как BC⊥AH (высота основания) и BC⊥DA (так как DA⊥(ABC)). Следовательно, плоскость ADH⊥BC. Поскольку BC лежит в плоскости BDC, то плоскость ADH перпендикулярна плоскости BDC по линии пересечения DH.
Если опустить перпендикуляр AK из точки A на линию пересечения DH, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен всей плоскости BDC (свойство перпендикулярных плоскостей). Точка K лежит на DH, которая является высотой грани BDC. Таким образом, основание перпендикуляра лежит на высоте грани.
Длина перпендикуляра AK равна высоте прямоугольного треугольника DAH, проведённой к гипотенузе DH. Катеты DA=9, AH=12, гипотенуза DH=15.
AK=DA·AH/DH=9·12/15=108/15=7.2 см .Проверка:
Сумма площадей: 84+58.5+67.5+105=142.5+172.5=315. Результат совпадает с ключом. Расчёт высоты AK через площади треугольника DAH: SDAH=1/2·9·12=54. Также SDAH=1/2·15·AK⇒54=7.5·AK⇒AK=7.2. Всё верно.
а) 315 см²
б) 7,2 см
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 311 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 311?
Краткий ответ: а) 315 см²; б) 7,2 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 37. Элементы симметрии правильных многогранников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.